[논문 리뷰] A priori estimates of a finite element method for fractional diffusion problems by energy arguments

Samir Karaa, Kassem Mustapha외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 30.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 볼록 도메인에서 변수 확산계수를 가진 시간 분수형 확산방정식에 대해 가우스킨(piecewise-linear) 유한요소법을 적용한 사전 오차 추정을 개발한다. $t^m$-가중치(norm)를 사용한 정교한 에너지 분석과 분수도의 일반화된 곱의 법칙을 활용하여, 매끄럽고 비매끄러운 초기 자료 모두에 대해 최적의 $L^2$ 및 $H^1$ 오차 추정과 준최적의 $L^\infty$ 추정을 확립한다.

ABSTRACT

In this article, the Galerkin piecewise-linear finite element (FE) method is applied to approximate the solution of time-fractional diffusion equations with variable diffusivity on bounded convex domains. Standard energy arguments do not provide satisfactory results for such a problem due to the low regularity of its exact solution. Using a delicate energy analysis, {\it a priori} optimal error bounds in $L^2(\Omega)$-, $H^1(\Omega)$-, and quasi-optimal in $L^{\infty}(\Omega)$-norms are derived for the semidiscrete FE scheme for cases with smooth and nonsmooth initial data. The main tool of our analysis is based on a repeated use of an integral operator and use of a $t^m$ type of weights to take care of the singular behavior at $t=0.$ The generalized Leibniz formula for fractional derivatives is found to play a key role in our analysis. Numerical experiments are presented to illustrate some of the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 변수 확산계수를 가진 시간 분수형 확산 문제에서의 준연속 유한요소법에 대해 사전 오차 추정을 유도하기.
• 표준 에너지 기법이 성공하지 못하는 $t=0$에서의 낮은 해의 정(regularity) 문제를 다루기.
• 매끄럽고 비매끄러운 초기 자료 모두에 대해 최적의 $L^2$ 및 $H^1$ 수렴 속도와 준최적의 $L^\infty$ 추정을 확립하기.
• 초기 시간에서의 특이 행동을 포착하기 위해 $t^m$-가중치(norm)와 분수도의 일반화된 곱의 법칙을 통합한 새로운 에너지 분석 프레임워크 개발하기.

제안 방법

• 유계 볼록 도메인에서 시간 분수형 확산 문제에 대해 가우스킨(piecewise-linear) 유한요소법을 적용한다.
• 분수도의 구조를 다루기 위해 적분 연산자의 반복적 적용을 사용한다.
• 해의 $t=0$에서의 특이 행동을 제어하기 위해 에너지 분석에 $t^m$-형 가중치를 도입한다.
• 핵심 분석 도구로 분수도의 일반화된 곱의 법칙을 사용한다.
• 정확한 해의 낮은 정규성에 대응하는 섬세한 에너지 추정을 수행한다.
• 체계적인 부분적 적분과 노름 통제를 통해 $L^2(\Omega)$, $H^1(\Omega)$, 및 $L^\infty(\Omega)$ 노름에서 오차 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 정규성 해를 가진 분수형 확산 문제에서 표준 에너지 추론 기법을 어떻게 수정하여 최적의 오차 추정을 달성할 수 있는가?
• RQ2 $t^m$-가중치 노름은 분수형 PDE의 초기층 특이성을 분석하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 분수도의 일반화된 곱의 법칙은 정밀한 오차 추정을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 준연속 유한요소 설정에서 매끄럽고 비매끄러운 초기 자료 모두에 대해 최적의 $L^2$ 및 $H^1$ 오차 추정을 달성할 수 있는가?
• RQ5 시간 분수형 확산방정식의 유한요소 근사에서 준최적의 $L^\infty$ 수렴은 달성 가능한가?

주요 결과

• 매끄럽고 비매끄러운 초기 자료 모두에 대해 준연속 유한요소 스킴에 대해 최적의 $L^2(\Omega)$-노름 오차 추정이 도출되었다.
• 특수한 $t^m$-가중치를 사용한 정교한 에너지 분석을 통해 최적의 $H^1(\Omega)$-노름 오차 추정이 확립되었다.
• 준최적의 $L^\infty(\Omega)$-노름 오차 추정이 확보되어 최대노름에서의 근사적 최적 수렴이 가능함을 시사한다.
• 에너지 추정에서 분수도의 일반화된 곱의 법칙은 분수도의 곱의 법칙을 다루는 데 필수적이다.
• 반복된 적분 연산자와 $t^m$-가중치 노름의 사용은 $t=0$에서의 초기층 특이성을 효과적으로 포착한다.
• 수치 실험은 $L^2$, $H^1$, 및 $L^\infty$ 노름에서 이론적 수렴 속도를 확인한다.