[논문 리뷰] Error Estimates for Approximations of Distributed Order Time Fractional Diffusion with Nonsmooth Data

Bangti Jin, Raytcho Lazarov외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 07.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비스무스 초기 자료를 가진 분포형 시간 분수 미분 방정식에 대한 엄밀한 수치 분석을 제시하며, 공간 반연속 갈레르킨 유한요소 방법과 두 가지 완전 이산화 스킴—라플라스 변환 사다리꼴 근사와 역행 오일러 시간 이산화를 갖는 컨볼루션 사다리꼴 근사 기반—을 제안한다. $L^2(\nabla)$ 및 $H^1$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 확립하며, 라플라스 기반 스킴은 지수 수렴을 보이고, 컨볼루션 사다리꼴 근사 스킴은 일계 수렴을 보이며, 광범위한 수치 실험으로 검증된다.

ABSTRACT

In this work, we consider the numerical solution of an initial boundary value problem for the distributed order time fractional diffusion equation. The model arises in the mathematical modeling of ultra-slow diffusion processes observed in some physical problems, whose solution decays only logarithmically as the time $t$ tends to infinity. We develop a space semidiscrete scheme based on the standard Galerkin finite element method, and establish error estimates optimal with respect to data regularity in $L^2(D)$ and $H^1(D)$ norms for both smooth and nonsmooth initial data. Further, we propose two fully discrete schemes, based on the Laplace transform and convolution quadrature generated by the backward Euler method, respectively, and provide optimal convergence rates in the $L^2(D)$ norm, which exhibits exponential convergence and first-order convergence in time, respectively. Extensive numerical experiments are provided to verify the error estimates for both smooth and nonsmooth initial data, and to examine the asymptotic behavior of the solution.

연구 동기 및 목표

• 분포형 시간 분수 미분 방정식에 대한 수치 스킴을 개발하고 분석하며, 초저속 확산 과정에서 흔히 나타나는 비스무스 초기 자료를 고려한다.
• 스무스 및 비스무스 초기 자료에 대해 $L^2(\nabla)$ 및 $H^1$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 확립하여 문헌에서의 격차를 메운다.
• 두 가지 완전 이산화 스킴—라플라스 변환 사다리꼴 근사를 기반으로 한 지수 수렴 스킴과, 역행 오일러 시간 이산화를 기반으로 한 일계 수렴 스킴—을 제안하고 분석한다.
• 스무스 및 비스무스 초기 자료에 대해 이론적 오차 추정치를 광범위한 수치 실험으로 검증한다.
• 해의 점점 가라앉는 행동을 분석하고, 이론적 오차 추정치의 날카로움을 확인하며, 오차 추정치에 로그 항이 포함되는지 확인한다.

제안 방법

• 표준 $H^1_0$-일치 유한요소를 사용한 공간 반연속 갈레르킨 유한요소 방법을 개발하며, 오차 분석은 후지타와 스즈끼의 연산자 기법에 의존한다.
• 두 가지 완전 이산화 스킴을 제안한다: 하나는 변형된 hyperbolic 경로를 사용한 역라플라스 변환의 사다리꼴 근사이고, 다른 하나는 역행 오일러 방법에 의해 생성된 컨볼루션 사다리꼴 근사이다.
• 라플라스 변환 기반 스킴은 경로 적분과 유리 근사를 사용하여 시간에 대해 지수 수렴을 달성한다.
• 컨볼루션 사다리꼴 근사 스킴은 역행 오일러 방법을 활용하여 안정적이고 일계 수렴하는 시간 이산화를 생성한다.
• 비스무스 초기 자료에 대한 해의 정규성 결과를 이용하여 오차 추정치를 유도하며, 최종 시간 $T$ 및 $L^2$ 초기 자료의 경우 로그 항에 의존한다.
• 수치 실험은 $\mathbb{R}^d$, $d=1,2,3$ 에서 볼록 다각형 영역에서 수행되며, 다양한 초기 자료와 가중 함수 $\mu(\alpha)$를 포함한다. 예를 들어 $\chi_{[1/2,1]}(\alpha)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비스무스 초기 자료를 가진 분포형 시간 분수 미분 방정식에 대해 공간 반연속 갈레르킨 유한요소 방법의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 라플라스 변환 사다리꼴 근사를 기반으로 한 완전 이산화 스킴은 이 문제에서 지수 수렴을 달성할 수 있으며, 컨볼루션 사다리꼴 근사 스킴과 비교해 볼 때 어떤가?
• RQ3 초기 자료의 정규성에 따라 오차 추정치는 어떻게 달라지며, 특히 $v \in L^2(\Omega)$인 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 오차 추정치에 포함된 로그 인자 $\ell_2(t) = \log(1/t)$ 는 날카로운가? 그리고 수치 실험에서 나타나는가?
• RQ5 다양한 초기 자료 유형(스무스 대 비스무스)에 따라 수렴 행동은 어떻게 변화하며, 이 스킴들은 큰 시간 간격에서도 효율적으로 작동하는가?

주요 결과

• 공간 반연속 갈레르킨 유한요소 방법은 $L^2(\Omega)$ 및 $H^1(\Omega)$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 달성하며, 이는 초기 자료의 정규성에 따라 수렴 속도가 달라진다.
• 라플라스 변환 기반 완전 이산화 스킴은 시간에 대해 지수 수렴을 보이며, 많은 시간 또는 큰 시간 구간에서의 해 계산에 매우 효율적이다.
• 역행 오일러 시간 이산화를 기반으로 한 컨볼루션 사다리꼴 근사 스킴은 시간에 대해 일계 수렴을 보이며, 모든 테스트 케이스에서 수치적으로 확인된 오차 비율을 보인다.
• $L^2(\Omega)$ 초기 자료의 경우 오차 추정치에 로그 인자 $\ell_2(t) = \log(1/t)$ 가 포함되며, 수치 실험으로 이 인자가 날카로운 것으로 확인되었고, $\|U_h^1 - u(\tau)\|_{L^2} \leq c\tau \log(1/\tau)$ 를 보였다.
• 수치 결과는 역행 오일러 스킴의 오차가 $L^2$ 초기 자료의 경우 $\tau / t$ 에 의해 지배되며, 이론적으로 예측된 바와 같이 $t$ 가 작아질수록 수렴 속도가 크게 떨어짐을 확인하였다.
• 광범위한 수치 실험을 통해 스무스 및 비스무스 초기 자료에 대해 이론적 오차 추정치를 검증하였으며, 초저속 확산 모델과 일치하는 해의 점점 감소하는 로그 감쇠 행동을 나타내었다.