[논문 리뷰] A Probabilistic Approach to Nonparametric Local Volatility

Martin Tegnér, Stephen Roberts|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 17.

Forecasting Techniques and Applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 프로세스를 사용하여 국소 변동성 표면에 대한 비모수적 베이지안 접근법을 제안한다. 이는 국소 변동성 표면에 대한 확률적 추론을 가능하게 하며, 국소 변동성을 GP 사전분포를 가진 랜덤 함수로 간주함으로써 불확실성 정량화, 과적합 방지 및 향후 변동성 표면에 대한 예측 분포를 제공한다. S&P 500 데이터를 바탕으로 한 1주일 후 예측에서 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

The local volatility model is a widely used for pricing and hedging financial derivatives. While its main appeal is its capability of reproducing any given surface of observed option prices---it provides a perfect fit---the essential component is a latent function which can be uniquely determined only in the limit of infinite data. To (re)construct this function, numerous calibration methods have been suggested involving steps of interpolation and extrapolation, most often of parametric form and with point-estimate representations. We look at the calibration problem in a probabilistic framework with a nonparametric approach based on a Gaussian process prior. This immediately gives a way of encoding prior beliefs about the local volatility function and a hypothesis model which is highly flexible yet not prone to over-fitting. Besides providing a method for calibrating a (range of) point-estimate(s), we draw posterior inference from the distribution over local volatility. This leads to a better understanding of uncertainty associated with the calibration in particular, and with the model in general. Further, we infer dynamical properties of local volatility by augmenting the hypothesis space with a time dimension. Ideally, this provides predictive distributions not only locally, but also for entire surfaces forward in time. We apply our approach to S&P 500 market data.

연구 동기 및 목표

• 유한하고 이산적인 시장 데이터로부터의 국소 변동성 보정이 잘 정의되지 않은 문제를 해결하기 위해 체계적인 확률적 프레임워크를 도입한다.
• 가우시안 프로세스 사전분포를 통해 국소 변동성의 매끄러움과 구조에 대한 사전 믿음을 표현한다.
• 국소 변동성 추정치와 그 유도량(예: 옵션 가격, 임의 변동성)의 불확실성 정량화를 가능하게 한다.
• 시간에 따라 변화하는 역학으로 모델을 확장하여 향후 시간에 대한 국소 및 임의 변동성 표면에 대한 예측 분포를 제공한다.
• 실제 S&P 500 옵션 데이터를 바탕으로 본 연구의 실용적 유용성을 입증한다. 이는 향후 예측 및 VIX 지수 모델링을 포함한다.

제안 방법

• 국소 변동성을 (시간, 행사가격) 입력 공간에 대한 가우시안 프로세스 사전분포로 모델링하여 비모수적 기능 학습을 가능하게 한다.
• 제곱 가격 오차를 가능도 함수로 사용하여 기존 보정 목표를 베이지안 가능도로 직접 연결한다.
• 마르코프 체인 몽테카를로 또는 변분 추론을 통해 사후 추론을 수행하여 국소 변동성 함수의 분포를 확보한다.
• 시간을 입력 차원으로 통합하여 시간에 따른 진화를 모델링하고 향후 변동성 표면에 대한 예측 분포를 가능하게 한다.
• 효율적인 GP 추론 알고리즘을 활용하여 실제 시장 데이터에 스케일링되며, 다중 시간 포인트에 걸친 순차적 사후 업데이트를 지원한다.
• 가중치 또는 절대 오차 목표 함수를 포함한 다소 유연한 가능도를 허용하여 시장 데이터의 노이즈 구조를 수용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 시장 데이터에서 과적합을 방지하고 불확실성을 정량화하는 방식으로 국소 변동성을 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ2 전통적인 파rametric 또는 보간 기반 방법과 비교해 볼 때, 비모수적 확률적 프레임워크는 보정의 안정성 향상에 기여하는가?
• RQ3 모델은 1주일 후 국소 및 임의 변동성 표면을 얼마나 잘 예측할 수 있으며, 예측 불확실성은 실현 오차와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 순차적으로 시간에 따라 사후분포를 업데이트함으로써 국소 변동성의 시간적 의존성을 모델링할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 VIX 지수 또는 기타 변동성 파생상품을 예측하기 위해 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 가우시안 프로세스 사전분포는 국소 변동성의 매끄러움과 사전 믿음을 성공적으로 표현하여 과적합 없이 안정적이고 진동이 없는 재구성 결과를 도출했다.
• 사후 추론을 통해 국소 변동성 함수의 전체 분포를 확보함으로써 모델 출력 및 유도량의 불확실성 정량화가 가능했다.
• 1주일 후 예측된 변동성 표면에서의 예측 성능이 표본 내 보정 오차 수준과 유사하여 강력한 예측 능력을 입증했다.
• 임의 변동성과 VIX 지수의 향후 예측은 현실적인 리스크 전파를 반영한 의미 있는 불확실성 추정치를 함께 제공했다.
• 계층적 추론을 통한 자연스러운 모델 선택이 가능하여 수시 조정이나 하이퍼파rameter 튜닝이 불필요했다.
• GP의 사전분포에 의한 정규화 및 불확실성에 대한 마진화 기능 덕분에 노이즈가 많거나 희소한 데이터에 대해서도 강건성을 보였다.