[논문 리뷰] A proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem

Dmitry B. Rokhlin|ArXiv.org|2008. 04. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 확률적 증권시장에서 무보상 조건과 유계 밀도를 가진 등가 마르팅게일 측도의 존재성 간의 동치성을 보여주는, 달랑-머턴-윌링거 정리에 대한 새로운 간결한 증명을 제시한다. 이 접근법은 복잡한 닫힘 증명이나 정교한 가측 집합값 함수를 피하기 위해 $L^1$-공간에서의 쌍대성과 가측 선택 정리들을 활용한다. 이는 무보상 조건 하에서 등가 마르팅게일 측도의 존재성을 더 직접적으로 확보한다.

ABSTRACT

We give a new proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem, relating the no-arbitrage condition in stochastic securities market models to the existence of an equivalent martingale measure with bounded density for a $d$-dimensional stochastic sequence $(S_n)_{n=0}^N$ of stock prices. Roughly speaking, the proof is reduced to the assertion that under the no-arbitrage condition for N=1 and $S\in L^1$ there exists a strictly positive linear fucntional on $L^1$, which is bounded from above on a special subset of the subspace $K\subset L^1$ of investor's gains.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 증권시장에서 달랑-머턴-윌링거 정리에 대한 새로운 간소화된 증명을 제공한다.
• 무보상 조건과 유계 밀도를 가진 등가 마르팅게일 측도의 존재성 간의 동치성을 확립한다.
• 이전 접근법에서 사용된 고급 가측 선택 정리나 수익 콘의 닫힘 증명에 의존하지 않도록 한다.
• 수익의 부분집합에서 유계인 양의 선형 함수의 존재가 유계 밀도를 가진 등가 마르팅게일 측도의 존재를 보장함을 보여준다.

제안 방법

• 상위 쌍대 공간인 $L^\infty$와 분리 정리에 초점을 맞춘 $L^1$-공간 내의 쌍대성을 활용하여 엄밀히 양의 함수를 구성한다.
• 카라투소프스키–릴-나르데프스키 가측 선택 정리를 사용하여 $\mathbb{R}^d$에서 $\sigma$-대체체 가측 매핑을 다룬다.
• 조건부 기대와 정규 조건부 분포를 활용하여 가격 증분 $\Delta S_n$의 지지집합을 분석한다.
• 조건부 측도와 밀도 변환을 이용한 귀납적 추론을 통해 일반적인 $N$-기간 경우를 $N=1$ 경우로 환원한다.
• 적분 가능성과 밀도의 유계성을 유지하기 위해 $d\mathsf{P}'/d\mathsf{P} = c\exp(-\sum_n |S_n|)$를 통한 측도 변화를 사용한다.
• 연속된 시간 단계에서의 밀도를 조합하여 등가 마르팅게일 측도 $\mathsf{Q}$를 재귀적으로 구성하며, $\mathsf{Q}$-마르팅게일 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수익 콘의 닫힘에 의존하지 않고, 무보상 조건과 유계 밀도를 가진 등가 마르팅게일 측도의 존재성 간의 동치성을 증명할 수 있는가?
• RQ2 고급 가측 집합값 함수를 사용하지 않고, $L^1$ 내의 쌍대성과 가측 선택 정리만으로도 등가 마르팅게일 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ3 $N$-기간 경우를 유계성 유지 조건 하에서 $N=1$ 경우로 환원하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 가격 증분 $\Delta S_n$의 지지집합의 볼록 hull의 상대 내부가 유계 밀도를 가진 등가 마르팅게일 측도의 존재성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 무보상 조건은 $L^1$에서의 수익 집합의 음의 부분의 노름이 1 이하인 집합 위에서 위상이 유계인 엄밀히 양의 선형 함수의 존재를 암시한다.
• 무보상 조건 하에서, 각 $n$에 대해 거의 확실히 $\mathsf{E}(g_n \Delta S_n | \mathscr{F}_{n-1}) = 0$을 만족하는 $L^\infty_{++}$ 내의 엄밀히 양의 원소 $g_n$이 존재한다.
• 이러한 $g_n$의 존재는 $d\mathsf{Q}/d\mathsf{P} \in L^\infty$를 만족하는 등가 마르팅게일 측도 $\mathsf{Q}$의 존재를 보장한다.
• 이 증명은 오스만의 가측 선택 정리와 크립스-얀의 닫힘 증명을 피하며, 결과에 도달하는 데 더 직접적인 길을 제공한다.
• 달랑-머턴-윌링거 정리의 조건 (i), (ii), (iii) 간의 동치성은 $N=1$ 경우로의 환원과 측도의 귀납적 구성에 의해 확립된다.
• 지지집합의 볼록 hull의 상대 내부에 원점이 포함되어 있다는 조건 (iii)은 유계 밀도를 가진 등가 마르팅게일 측도의 존재에 대해 필수적이고도 충분한 조건이다.