[논문 리뷰] A quantitative geometric rigidity result in SBD

Manuel Friedrich, Bernd Schmidt|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 23.

Numerical methods in engineering참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 특수한 유한 변형 함수(SBD)에 대한 정량적 기하학적 강성 추정을 수립하며, 균열이 있는 취약 재료로 고전적 강성 결과를 일반화한다. 임의의 변형이 조각별 강성 운동과 변위장의 합으로 분해될 수 있음을 증명하며, 체적 에너지 기여와 표면 에너지 기여를 모두 통제할 수 있다. 이는 기하학적으로 선형화된 설정에서의 조각별 Korn-Poincaré 부등식을 유도한다.

ABSTRACT

We present a quantitative geometric rigidity estimate for special functions of bounded deformation in a planar setting generalizing the result by Friesecke, James, Müller obtained in nonlinear elasticity theory and the piecewise rigidity result by Chambolle, Giacomini, Ponsiglione for brittle materials which do not store elastic energy. We show that for each deformation there is an associated triple consisting of a partition of the domain, a corresponding piecewise rigid motion being constant on each connected component of the cracked body and a displacement field measuring the distance of the deformation from the piecewise rigid motion. We also present a related estimate in the geometrically linear setting which can be interpreted as a `piecewise Korn-Poincaré inequality'.

연구 동기 및 목표

• Sobolev 공간에서의 기하학적 강성 추정을 변형이 유한한 함수(SBD)와 절단 불연속성으로 일반화하기.
• 균열이 있는 경우 조각별 강성 운동과 통제된 변위장으로 변형을 특성화하여 취약 파손을 모델링하기.
• 변형률 행렬이 회전에 얼마나 떨어져 있는지를 전역적인 변위장(조각별 강성 운동에서의 거리 측정)과 연결하는 정량적 추정을 유도하기.
• 기하학적으로 선형화된 강성 결과의 형태를 확립하여 '조각별 Korn-Poincaré 부등식'으로 해석하기.
• 균열이 존재할 경우 체적 에너지 기여와 표면 에너지 기여를 모두 통제하여 변분 파손 모델에의 적용 가능성을 확보하기.

제안 방법

• 영역의 분할, 각 연결 성분에서 일정한 조각별 강성 운동, 강성에서의 편차를 측정하는 변위장으로 구성된 삼중 분해 도입.
• 크랙을 통해 함수를 확장하면서도 수정된 집합에서 $H^1$-정규성을 유지하는 국소화 및 수정 기법 사용.
• 국소 영역에서 Korn-Poincaré 부등식을 적용하여 변위장의 $L^2$-노름을 통제.
• 크랙 집합을 다루고 정규성을 보장하기 위해 약간 확대된 영역 $\Omega_\rho$에서 수정된 변형 $\hat{y}$를 구성.
• 이중 큐브를 사용한 커버링 추론을 통해 비정규 부분에서의 기울기 차이 $\nabla \hat{y} - R_j$의 $L^p$-노름을 통제.
• 단위 분할과 조각별 강성 운동에 의한 근사화를 통해 $SBD$-설정에서의 균일 추정을 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점단 불연속성이 허용되는 SBD 함수에 대해 정량적 기하학적 강성 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 균열이 존재할 경우 변형이 조각별 강성 운동에서 벗어나는 정도를 어떻게 정량적으로 통제할 수 있는가?
• RQ3 변분 파손 모델에서 체적 에너지($\nabla u$를 통한)와 표면 에너지($J_u$를 통한) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 SBD 함수에 대해 기하학적으로 선형화된 설정에서 조각별 Korn-Poincaré 부등식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 작은 집합과 비정규적인 균열 기하학을 다룰 수 있도록 강성 추정을 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $u \in SBD(\Omega)$에 대해, $\Omega$의 집합 $P_j$로의 분할, 각 $P_j$에서의 조각별 강성 운동 $R_j x + c_j$, 그리고 $u - (R_j x + c_j)$로 구성된 변위장이 존재하며, 변위장의 $L^2$-노름은 변형률의 $L^2$-노름과 절단 집합의 총 변동도에 의해 통제된다.
• 각 성분 $P_j$에서 변위장의 $L^2$-노름은 $C(\rho) \varepsilon$에 의해 유계이며, 여기서 $\varepsilon$는 $\nabla u$가 $SO(2)$에서 떨어진 정도를 통제한다.
• 수정된 영역에서의 기울기 차이 $\nabla \hat{y} - R_j$의 $L^4$-노름은 $C(\rho)\varepsilon$에 의해 유계이며, 이는 근사에서의 정규성을 보장한다.
• 절단 집합 $J_{\hat{y}}$의 총 둘레는 $\mathcal{H}^1(J_{\hat{y}}) \leq \mathcal{H}^1(J_y) + C_1 \rho$를 만족하여 표면 에너지가 통제됨을 보여준다.
• 기하학적으로 선형화된 설정에서 변위장은 $\rho$와 $\varepsilon$에 따라 결정되는 상수를 가진 조각별 Korn-Poincaré 부등식을 만족한다.
• 결과는 소수의 측도를 제외한 전역적으로 균일하게 성립하며, 오차 항은 $\varepsilon^{1-\eta}$와 $\rho$에 의해 통제된다.