[논문 리뷰] A Quantum Approximate Optimization Algorithm for continuous problems

Guillaume Verdon, Juan Miguel Arrazola외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 목적 함수로 정의된 잠재 well 내에서 양자 역학적 동역학으로 연속 최적화를 공식화하는 연속 변수 양자 근사 최적화 알고리즘(CV-QAOA)을 제안한다. 비용 해밀토니안과 믹서 해밀토니안에 따른 시간 진동을 번갈아 적용함으로써, 초위상 상태에서 경사 하강법을 수행하며, 연속 변수에 대한 혼성 최적화를 가능하게 하고 잠재적인 양자 속도 향상과 기울기 히우리스틱을 통한 효율적인 고전적 매개변수 조정을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a quantum approximate optimization algorithm (QAOA) for continuous optimization. The algorithm is based on the dynamics of a quantum system moving in an energy potential which encodes the objective function. By approximating the dynamics at finite time steps, the algorithm can be expressed as alternating evolution under two non-commuting Hamiltonians. We show that each step of the algorithm updates the wavefunction in the direction of its local gradient, with an additional momentum-dependent displacement. For initial states in a superposition over many points, this method can therefore be interpreted as a coherent version of gradient descent, i.e., 'gradient descent in superposition.' This approach can be used for both constrained and unconstrained optimization. In terms of computational complexity, we show how variants of the algorithm can recover continuous-variable Grover search, and how a single iteration can replicate continuous-variable instantaneous quantum polynomial circuits. We also discuss how the algorithm can be adapted to solve discrete optimization problems. Finally, we test the algorithm through numerical simulation in optimizing the Styblinski-Tang function.

연구 동기 및 목표

• 금융, 머신러닝, 공학 분야에서 흔한 연속 최적화 문제를 위한 양자 알고리즘이 부족한 문제를 해결한다.
• 원래 이산 문제 전용으로 설계된 QAOA 프레임워크를 연속 변수 시스템으로 확장한다.
• 양자 역학적 동역학을 사용하여 실수 값 최적화 문제를 연속 영역에서 해결할 수 있는 양자 알고리즘을 가능하게 한다.
• 알고리즘이 고전적 기울기 하강법 히우리스틱을 모방하면서도 양자 중첩을 유지할 수 있음을 보여준다.
• 이 알고리즘이 같은 프레임워크 내에서 제약 조건이 있는 또는 이산 최적화 문제를 다룰 수 있도록 적응시킬 수 있는지 보여준다.

제안 방법

• 목적 함수를 비용 해밀토니안 $ \hat{H}_C = f(\bm{x}) $로 표현하며, 여기서 $ f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R} $ 이다.
• 운동량에 의존하는 진동을 유도하는 믹서 해밀토니안 $ \hat{H}_M $ 를 사용하여 비가환 동역학을 가능하게 한다.
• 변량 매개변수 $ \gamma_j, \tau_j $ 를 가진 교차 단위 연산자 $ e^{-i\gamma_j \hat{H}_C} $ 와 $ e^{-i\tau_j \hat{H}_M} $ 를 통해 시간 진동을 구현한다.
• 각 진동 단계를 국소 기울기 방향으로의 혼성 업데이트로 해석하며, 운동량에 따라 변하는 이동을 포함한다.
• 초기 상태를 초위상 상태(예: 운동량 압축된 진공)로 설정하여 다수의 시작 지점과 동시에 탐색을 가능하게 한다.
• 연속 변수 양자 계산 또는 디지털 큐비트 시뮬레이션을 통해 알고리즘을 구현하며, 비선형 잠재력에 대응하기 위해 고유의 4차 게이트 $ e^{i\hat{x}^4} $ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA 프레임워크는 이산 변수를 넘어서 연속 최적화 문제로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 입자가 잠재력 내에서 겪는 양자 동역학은 고전적 기울기 하강법과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 연속 변수 환경에서 고전적 그로버 검색과 비교해 볼 때 알고리즘이 양자 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ4 고전적 최적화 히우리스틱(예: 학습률 스케줄링)이 양자 회로의 변량 매개변수에 얼마나 깊이 통합될 수 있는가?
• RQ5 이 알고리즘은 동일한 프레임워크 내에서 제약 조건이 있거나 이산 최적화 문제를 다룰 수 있도록 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 초위상 상태에서 기울기 하강법을 수행하며, 각 단계에서 국소 기울기 방향으로 파동함수를 업데이트하고 운동량에 따라 변하는 이동을 포함한다.
• 이차원 스틸린스키-탱 함수에 대해, 알고리즘은 최고의 샘플링 함수 값 $ f(x^*, y^*) = -78.33216 $ 를 달성하였으며, 전역 최소값 $ -78.3323 $ 과 매우 가까웠다.
• 1000개의 샘플 중 22개의 점이 $ -78 $ 이하의 함수 값을 가졌으며, 이는 보편적인 샘플링 수준에서 전역 최소값에 대한 좋은 근사가 접근 가능함을 시사한다.
• T = 0.1 인 3단계 이후, 출력 확률 분포는 네 개의 국소 최소값 주변으로 집중되었으며, 최빈값은 전역 최소점 근처에 정렬되었다.
• 기본 복잡도 가정 하에 알고리즘의 출력 분포는 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션할 수 없으며, 잠재적인 양자 우월성을 시사한다.
• 알고리즘은 연속 변수 그로버 검색을 복원하고 한 단계 내에서 즉각적인 양자 다항식 회로를 재현할 수 있다.