[논문 리뷰] A Quantum Circuit to Construct All Maximal Cliques Using Grover Search Algorithm

C. R. Wie|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 n개 노드로 구성된 네트워크에서 모든 최대 클리크를 식별하는 데에 고르버의 검색 알고리즘을 사용하는 양자 회로를 제시한다. 인접 행렬을 양자 오라클에 인코딩하여 최대 클리크를 나타내는 상태의 초위상(superposition)를 강화함으로써, 고전적 완전 탐색 방법에 비해 제곱근의 속도 향상을 달성한다.

ABSTRACT

A quantum circuit to construct all maximal cliques using Grover search algorithm is presented. This oracle circuit takes as input an n-qubit state |x> and the adjacency matrix data A of an n-node network, and outputs the state (-1)^f(x) |x> where f(x)=1 if |x> is a maximal clique, and f(x)=0, otherwise. The oracle workspace requires 2n^2 qubits. Each oracle call makes about 10n^2 calls to the Toffoli gates. The overall Grover search algorithm takes as input a uniform superposition n-qubit state and the adjacency matrix data, and outputs a uniform superposition of all maximal clique states.

연구 동기 및 목표

• 양자 병렬 처리와 확률 강화를 활용해 그래프에서 모든 최대 클리크를 효율적으로 찾는 양자 알고리즘을 개발하기.
• 고전적 계산에서 최대 클리크 열거의 계산 비용이 높다는 점을 고려해 양자 우수성을 활용하여 이를 해결하기.
• 인접 행렬을 입력으로 사용하여 다른 n-큐비트 상태와 최대 클리크 상태를 구분할 수 있는 전용 오라클 회로를 설계하기.
• 반복적인 고르버 반복을 통해 모든 최대 클리크 상태의 균일한 초위상(superposition)을 가능하게 하기.

제안 방법

• 모든 n-큐비트 계산 기저 상태로 이루어진 균일한 초위상을 초기화하여 잠재적 클리크를 나타내는 상태를 준비한다.
• 상태 |x⟩가 최대 클리크에 해당하면 f(x) = 1, 그렇지 않으면 f(x) = 0이 되도록 특수 오라클 함수 f(x)를 구성한다.
• 오라클은 인접 행렬 A를 사용하여 상태 |x⟩에 포함된 모든 노드가 상호로 연결되어 있고, 더 이상 노드를 추가로 추가할 수 없는지 확인한다.
• 오라클의 출력은 단계 반전(phase flip) 방식으로 표현되며, (−1)^f(x) |x⟩로 나타내어 지며, 이는 고르버의 확률 강화 과정에 필수적이다.
• 모든 최대 클리크 상태의 확률 진폭을 반복적으로 강화하기 위해 고르버 반복을 적용한다.
• 작업용으로 2n² 큐비트가 필요하며, 클리크 최대성 확인의 복잡성으로 인해 오라클 호출당 약 10n² 토플리 게이트가 소요된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고르버의 검색 알고리즘이 오라클을 사용하여 그래프의 모든 최대 클리크를 열거하는 데에 적응 가능할 수 있는가?
• RQ2 최대 클리크를 식별하는 데에 필요한 자원 비용—특히 큐비트와 토플리 게이트의 수—는 얼마인가?
• RQ3 인접 행렬을 어떻게 양자 오라클에 인코딩하여 후보 클리크의 최대성 여부를 검증할 수 있는가?
• RQ4 모든 최대 클리크 상태의 균일한 초위상을 가능하게 하는 양자 회로의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 양자 회로는 오라클를 통한 단계 마킹을 활용한 고르버 알고리즘을 사용하여 모든 최대 클리크 상태의 균일한 초위상을 성공적으로 구성한다.
• 오라클는 인접 행렬을 저장하고 클리크 검증 작업을 수행하기 위해 2n² 큐비트가 필요하다.
• 각 오라클 호출은 상호 연결성과 최대성 검증의 복잡성으로 인해 약 10n² 토플리 게이트를 포함한다.
• 고전적 완전 탐색에 비해 최대 클리크 열거에서 제곱근의 속도 향상을 달성하지만, 정확한 회로 깊이(depth)는 최대 클리크의 수에 따라 달라진다.
• 알고리즘은 n-노드 그래프에 대해 정식으로 정확성 검증이 완료되었으며, 오라클는 인접 행렬 입력에 기반해 최대 클리크를 정확히 식별한다.
• 회로 설계는 원칙적으로 확장 가능하지만, 현재의 양자 하드웨어 제약으로 인해 실용적 구현에는 한계가 있다.