[논문 리뷰] A Re-examination of the isometric embedding approach to General Relativity

Steven Willison|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 25.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론의 등장각 맵핑 접근법을 재검토하며, 아인슈타인 방정식을 고차원 미ン코프스키 공간에서 기술함으로써 코시 문제 문제와 내재적 일반 상대성 이론과의 비등가성 문제를 다룹니다. 13+1차원 프레임워크를 사용하여 이를 해결하고, 카우시-코바레프스카야 정리에 의해 해석적 초기 자료에 대해 국소적 존재성과 유일성을 확립합니다. 비콤팩트이고 점 渐진적으로 평탄한 자료를 다룰 수 있도록 가중 치수 공간에서의 변형된 페르투르베이션 방법을 제안하며, 적절한 수정이 이루어지면 전역 존재성이 실현 가능하다고 제안합니다.

ABSTRACT

We consider gravitational field equations which are Einstein equations written in terms of embedding coordinates in some higher dimensional Minkowski space. Our main focus is to address some tricky issues relating to the Cauchy problem and possible non-equivalence with the intrinsic Einstein theory. The well known theory introduced by Regge and Teitelboim in 9+1 dimensions is cast in Cauchy-Kowalevskaya form and therefore local existence and uniqueness results follow for \emph{analytic} initial data. In seeking a weakening of the regularity conditions for initial data, we are led naturally to propose a 13+1 dimensional theory. By imposing an appropriate conserved initial value constraint we are able, in the neighbourhood of a generic (free) embedding, to obtain a system of nonlinear hyperbolic differential equations. The questions of long time or global existence and uniqueness are formidable, but we offer arguments to suggest that the situation is not hopeless if the theory is modified in an appropriate way. We also present a modification of the perturbation method of Günther to weighted Sobolev spaces, appropriate to noncompact initial data surfaces with asymptotic fall-off conditions.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론의 등장각 맵핑 공식화에서 기초적인 문제, 특히 코시 문제와 표준 아인슈타인 중력 이론과의 비등가성 문제를 해결하기 위해.
• 9+1차원 프레임워크에서 카우시-코바레프스카야 정리를 사용하여 해석적 초기 자료에 대해 국소적 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 비콤팩트이고 점 渐진적으로 평탄한 시공간을 다룰 수 있도록, 정규성 조건을 완화하기 위해 13+1차원 이론을 제안하기 위해.
• 비콤팩트이고 점 渐진적으로 평탄한 초기 자료 표면에 적합한 가중 치수 공간 $H_{s,\delta}$를 사용한 수정된 페르투르베이션 방법을 개발하기 위해.
• 이론이 적절히 수정된다면 장기적 또는 전역 존재성이 희망적이지 않다는 것을 주장하기 위해, 비록 도전 과제가 막대하더라도.

제안 방법

• 물리적 시공간 메트릭 $g_{\mu\nu}$와 일치하는 유도 메트릭을 보장하면서, 고차원 미ン코프스키 공간 $\mathbb{E}^{N-1,1}$에서의 임bedding 좌표 $X^A(\tau)$ 에 대해 아인슈타인 방정식을 기술합니다.
• 9+1차원 레지-타이텔부임 공식화에 대해 카우시-코바레프스카야 정리를 적용하여 해석적 초기 자료에 대해 국소적 존재성과 유일성을 보장합니다.
• 비콤팩트 초기 자료의 점 渐진적 붕괴를 허용하기 위해 정규성 조건을 완화하기 위해 13+1차원 이론을 제안합니다.
• 일반적인 (자유로운) 임베딩 주변에서, 보존된 초기 조건 제약을 도입하여 비선형 히퍼볼릭 미분방정식계를 유도합니다.
• 비콤팩트 자료를 다룰 수 있도록 군터의 페르투르베이션 방법을 가중 치수 공간 $H_{s,\delta}$로 적응시켜, 공간 무한대에서의 감쇠를 보장합니다.
• 가중 치수 공간에서의 수축 사상 원리에 기반하여, 라플라스 연산자의 연속적 곱셈 및 역행성 정리에 의존하여, 작은 페르투르베이션 하에서 해의 존재성을 증명합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론의 등장각 맵핑 접근법이 잘 정의된 코시 문제로 일관되게 공식화될 수 있으며, 국소적 해가 잘 정의되는가?
• RQ2 특히 초기 자료의 정규성 조건을 완화할 때, 시스템이 과잉 제약을 받지 않도록 하기 위해 필요한 최소 임베딩 차원은 무엇인가?
• RQ3 점 渐진적 붕괴 조건을 가진 비콤팩트 초기 자료 표면에 대해 페르투르베이션 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 임베딩 접근법에서 유도된 히퍼볼릭 방정식계는 어떤 조건에서 전역 존재성과 유일성을 보장하는가?
• RQ5 임베딩된 형태와 내재된 형태의 일반 상대성 이론 간의 비등가성은 근본적인 장애물인가, 아니면 이론을 적절히 수정함으로써 해결될 수 있는가?

주요 결과

• 카우시-코바레프스카야 정리를 사용하여 9+1차원 레지-타이텔부임 프레임워크에서 해석적 초기 자료에 대해 일반 상대성 이론의 등장각 맵핑 공식화에 대한 국소적 존재성과 유일성이 확립되었습니다.
• 비콤팩트이고 점 渐진적으로 평탄한 자료를 다룰 수 있도록, 해석성 초월 정규성 조건을 완화하기 위해 13+1차원 이론이 제안되었습니다.
• 임베딩 접근법에서 유도된 방정식계는 일반적인 (자유로운) 임베딩 주변에서 비선형 히퍼볼릭 미분방정식의 집합을 이룹니다. 적절한 제약 조건 하에서 국소적 잘 정의됨을 보장합니다.
• 비콤팩트 초기 자료의 감쇠를 고려한 가중 치수 공간 $H_{s,\delta}$에서의 수정된 페르투르베이션 방법이 개발되었으며, 공간 무한대에서의 감쇠를 갖는 비콤팩트 초기 자료 분석이 가능해졌습니다.
• 가중 치수 공간에서의 수축 사상 원리에 의해, 노름 $\|M^{-1}H\|_{p,\alpha}(|K| + \|L\|_{q,\beta})$ 이 충분히 작을 경우, 작은 페르투르베이션 하에서 해의 존재성이 확인되었습니다.
• 결과적으로 이론이 적절히 수정된다면 장기적 또는 전역 존재성이 희망적이며, 중력의 타당한 임베딩 공식화로 향하는 길을 제시합니다.