[논문 리뷰] A regularity condition in polynomial optimization

Vu Trung Hieu|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 18.

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한 줄 요약

이 논문은 다항식 최적화 문제에 대한 정칙 조건을 제안한다. 이 조건은 다항식의 최고차항 동차성 성분과 타당집합의 점점 가까워지는 원뿔의 해집합의 유계성에 기반한다. 이 조건 하에서, 프랭크-울프 유형의 존재성 정리와 허위볼록 문제에 대한 이브스 유형 결과를 확장하며, 타당집합이 준대수적일 경우 해와 최적값 함수의 국소적 안정성 및 정칙성 성질을 증명한다.

ABSTRACT

Let $f$ be a polynomial of degree $d$ and $K$ be a nonempty closed set in $\R^n$. The problem minimizing $f$ on $K$ and its solution set are denoted by $\OP(K,f)$ and $\Sol(K,f)$, respectively. This paper introduces a regularity condition, which says that the solution set of the problem $\OP(K_{\infty},f_d)$, where $K_{\infty}$ is the asymptotic cone of $K$, and $f_d$ is the homogeneous component of degree $d$ of $f$, is bounded. Under this condition, a Frank-Wolfe type theorem is obtained, i.e. if $\OP(K,f)$ is regular and $f$ is bounded from below over $K$, then $\Sol(K,f)$ is nonempty. We have an Eaves type theorem for $\OP(K,f)$ provided that this problem is non-regular and $f$ is pseudoconvex on $K$. Furthermore, when $K$ is semi-algebraic, several local properties of the solution map (e.g., local boundedness, upper semicontinuity, and local upper-Holder stability) and the optimal value function (e.g., local Lipschitz continuity, semismoothness) of polynomial optimization problems are valid. The genericity of the regularity condition is discussed at the end.

연구 동기 및 목표

• 비어 있지 않은 닫힌 타당집합을 가진 다항식 최적화 문제에서 해의 존재성을 보장하는 충분조건을 확립하기 위해.
• 점점 가까워지는 행동에 기반한 정칙 조건을 도입하여 프랭크-울프 및 이브스 유형 정리를 일반화하기 위해.
• 준대수적 제약 조건 하에서 해 사상의 국소적 안정성 성질(예: 유계성, 상부 연속성, 하오더 안정성)을 조사하기 위해.
• 준대수적 조건 하에서 최적값 함수의 정칙성, 즉 국소 리프시츠 연속성과 반연속성 등을 분석하기 위해.
• 제안된 정칙 조건이 다항식 최적화 문제의 공간에서 일반적인가를 검토하기 위해.

제안 방법

• 타당집합 $K$의 점점 가까워지는 원뿔 $K_{\infty}$와 다항식 $f$의 차수 $d$에 해당하는 동차성 성분 $f_d$를 정의한다.
• 점점 가까워지는 원뿔 $K_{\infty}$와 동차성 성분 $f_d$를 이용한 문제 $\OP(K_{\infty}, f_d)$의 해집합의 유계성을 정규 조건으로 도입한다.
• 이 조건을 이용해 $f$ 가 $K$에서 아래로 유계일 경우 최적해의 존재성을 증명하며, 이는 프랭크-울프 정리의 일반화이다.
• 비정규 문제의 경우, $f$ 가 $K$에서 허위볼록일 때 이브스 유형의 존재 결과를 도출한다.
• 준대수기하학 도구를 활용하여 해 사상의 국소적 유계성, 상부 연속성 및 국소 상부-하오더 안정성을 확립한다.
• 준대수적 가정 하에서 최적값 함수의 국소 리프시츠 연속성과 반연속성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 최적화 문제 $\OP(K,f)$가 $f$ 가 $K$에서 아래로 유계일 때 비어 있지 않은 해집합을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 점점 가까워지는 행동에 기반한 정칙 조건 하에서 프랭크-울프 정리는 다항식 최적화 문제로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 타당집합 $K$가 준대수적일 경우 해 사상의 국소적 안정성 성질(예: 유계성, 연속성, 하오더 안정성)은 무엇이 성립하는가?
• RQ4 준대수적 제약 조건 하에서 최적값 함수의 리프시츠 연속성과 반연속성 등 정칙성은 어떻게 되는가?
• RQ5 제안된 정칙 조건은 다항식 최적화 문제의 공간에서 일반적인가?

주요 결과

• 점점 가까워지는 원뿔 $K_{\infty}$와 동차성 성분 $f_d$를 이용한 문제 $\OP(K_{\infty}, f_d)$의 해집합의 유계성이라는 정칙 조건은, $f$ 가 $K$에서 아래로 유계일 경우 항상 $\OP(K,f)$의 해가 존재함을 보장하며, 이는 프랭크-울프 정리의 일반화이다.
• 비정규 문제의 경우, $f$ 가 $K$에서 허위볼록일 경우 $\OP(K,f)$는 해를 갖는다. 이는 이브스 유형의 존재 결과를 확장한 것이다.
• 타당집합 $K$가 준대수적일 경우 해 사상은 국소적으로 유계이며, 상부 연속적이며, 국소적으로 상부-하오더 안정성이 있다.
• 준대수적 조건 하에서 최적값 함수는 국소적으로 리프시츠 연속적이며 반연속적이다.
• 정칙 조건은 다항식 최적화 문제의 공간에서 일반적으로 성립하므로, 이는 그 강건성을 시사한다.