[논문 리뷰] A regularity method for lower bounds on the Lyapunov exponent for stochastic differential equations

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 102인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 약간의 소산성과 약한 외력이 작용하는 스토크라스틱 미분 방정식(SDE)에 대해, 정규성 기반의 새로운 방법을 제안하여 최상위 리아풀로프 지수에 대한 정량적 하한을 설정한다. 프로젝티브 과정의 정상 밀도와 리아풀로프 지수를 연결하는 피셔 정보 항등식을 유도하고, L1 프레임워크에서의 새로운 정량적 초타원성 정규성 이론을 적용하여, 추가적인 소음을 임의의 연속된 두 모드에 가한 경우, 임의의 차원에서 로렌츠-96 모델에 대해 최상위 리아풀로프 지수의 양의 값을 처음으로 수학적으로 엄밀하게 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we review our recently introduced methods for obtaining strictly positive lower bounds on the top Lyapunov exponent of high-dimensional, stochastic differential equations such as the weakly-damped Lorenz-96 (L96) model or Galerkin truncations of the 2d Navier-Stokes equations. This hallmark of chaos has long been observed in these models, however, no mathematical proof had been made for either deterministic or stochastic forcing. The method we proposed combines (A) a new identity connecting the Lyapunov exponents to a Fisher information of the stationary measure of the Markov process tracking tangent directions (the so-called "projective process"); and (B) an $L^1$-based hypoelliptic regularity estimate to show that this (degenerate) Fisher information is an upper bound on some fractional regularity. For L96 and GNSE, we then further reduce the lower bound of the top Lyapunov exponent to proving that the projective process satisfies H\"ormander's condition. We review the recent contributions of the first and third author on the verification of this condition for the 2d Galerkin-Navier-Stokes equations in a rectangular, periodic box of any aspect ratio. Finally, we briefly contrast this work with our earlier work on Lagrangian chaos in the stochastic Navier-Stokes equations. We end the review with a discussion of some open problems.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법으로는 실패하는 스토크라스틱 시스템에서 최상위 리아풀로프 지수에 대한 정량적 하한을 수학적으로 엄밀하게 설정하는 방법을 개발하는 것.
• 약한 소산성과 약한 외력이 작용하는 SDE, 특히 기본적인 모델인 로렌츠-96과 갈레르킨 절단된 나비에-스토크스 방정식에 대해 최상위 리아풀로프 지수의 양의 값을 증명하는 것.
• 프로젝티브 과정의 정상 밀도의 정규성과 리아풀로프 지수 사이의 새로운 관계를 설정하는 것.
• 소산된 피셔 정보를 아래에서 유계로 제어하는 소볼레프 노름을 사용하는 L1 프레임워크에서의 정량적 초타원성 정규성 이론을 개발하는 것.

제안 방법

• 프로젝티브 다발 SRn 위에서의 정상 밀도 f의 비정상 피셔 정보 기능 FI(f)로 최상위 리아풀로프 지수 λ1를 표현하는 새로운 항등식(정리 A)을 유도한다.
• 피셔 정보 FI(f)가 어떤 s > 0에 대해 국소적 W^{s,1}_{loc} 소볼레프 노름을 제어함을 보여주는 정량적 초타원성 정규성 결과(정리 B)를 확립한다.
• 선형화된 편차의 역학을 분석하기 위해, vt가 흐름의 정규화된 접선 방향을 추적하는 프로젝티브 과정 (wt) = (xt, vt)를 사용한다.
• Rn 위의 원래 벡터장 Xk를 Sasaki 메트릭과 수직 및 수평 성분으로 분해하여 SRn 위의 프로젝티브 벡터장 ˜Xk로 올리는 작업을 수행한다.
• 피셔 정보를 국소적 소볼레프 반노름으로 아래에서 유계로 제어하는 새로운 L1 기반 초타원성 정규성 이론을 적용하여, 정상 밀도의 정규성과 λ1의 하한 사이의 연결 고리를 맺는다.
• 프로젝티브 벡터장 ˜Xk가 생성하는 리 대수(Levi algebra)가 초타원성 조건을 만족함을 증명하여, 프로젝티브 과정의 초타원성과 에르고딕성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 소산성과 약한 외력이 작용하는 SDE에 대해, 최상위 리아풀로프 지수에 대한 하한을 수학적으로 엄밀하게 설정할 수 있는 새로운 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 프로젝티브 다발 위에서의 정상 밀도의 피셔 정보가 리아풀로프 지수를 제어하는가? 그리고 이 관계를 정량적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 피셔 정보를 소볼레프 노름을 사용하여 아래에서 유계로 제어하는 정량적 L1 초타원성 정규성 이론을 구축할 수 있는가?
• RQ4 추가 소음이 임의의 연속된 두 모드에 가해질 경우, 어떤 차원에서든 로렌츠-96 모델의 최상위 리아풀로프 지수는 양수인가?
• RQ5 이 방법은 갈레르킨 절단된 나비에-스토크스 방정식과 같은 다른 기본 모델에 적용 가능한가?

주요 결과

• 논문은 새로운 항등식(정리 A)을 확립하여, 최상위 리아풀로프 지수 λ1가 nλ1 − 2λΣ = FI(f)를 만족함을 보여주며, 여기서 FI(f)는 SRn 위의 정상 밀도 f에 대한 비정상 피셔 정보 기능이다.
• 저자들은 FI(f)가 어떤 s > 0에 대해 f의 국소적 W^{s,1}_{loc} 소볼레프 반노름으로 아래에서 유계임을 증명하여, 정규성과 리아풀로프 지수 사이의 정량적 연결 고리를 확립한다(정리 B).
• 임의의 차원 n ≥ 3에서 로렌츠-96 모델에 대해, 추가 소음이 임의의 연속된 두 모드에 가해질 경우 최상위 리아풀로프 지수는 엄격히 양수이며, 이는 이 모델에서의 혼돈성에 대한 첫 번째 수학적 엄밀한 증명이다.
• 이 방법은 체적과 노름을 보존하는 이차형 드리프트를 갖는 광범위한 SDE 클래스에 적용 가능하며, 갈레르킨 절단된 나비에-스토크스 방정식을 포함하여 리아풀로프 지수의 양의 값을 수학적으로 엄밀하게 증명할 수 있다.
• 분석 결과, SRn 위의 프로젝티브 과정이 약한 조건 하에서도 에르고딕성과 파arabolic Hörmander 조건을 만족함을 확인하여 정상 측도의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 프로젝티브 설정에서 푸르스텐베르크-하스미닌스키 공식을 엄밀하게 재유도하여, 합 리아풀로프 지수 λΣ가 드리프트 장의 발산의 적분과 같고, nλ1 − 2λΣ가 노이즈 장의 프로젝티브 발산의 적분과 같음을 확인한다.