[논문 리뷰] A regularization approach to functional Itô calculus and strong-viscosity solutions to path-dependent PDEs

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 경로에 따라 변하는 편미분방정식(path-dependent PDEs)에 대해 강한-비틀림 해(strong-viscosity solutions)의 존재성과 유일성을 확립하고, 경로에 따라 변하는 열 방정식(path-dependent heat equation)과 일반적인 반선형 PDEs에 대해 강한-비틀림 해의 존재성과 유일성을 보이며, 유한 차원에서 반선형 PDEs에 대해 강한-비틀림 해와 고전적 비틀림 해 사이의 동치성을 입증한다. 이를 위해 중간 공간으로서 끝점에서 점프가 가능하고 유계이며 왼쪽 연속인 경로의 공간을 도입하여, 수리적 정규화 기반의 기능적 이토 미적분을 제안한다.

ABSTRACT

First, we revisit functional Itô/path-dependent calculus started by B. Dupire, R. Cont and D.-A. Fournié, using the formulation of calculus via regularization. Relations with the corresponding Banach space valued calculus introduced by C. Di Girolami and the second named author are explored. The second part of the paper is devoted to the study of the Kolmogorov type equation associated with the so called window Brownian motion, called path-dependent heat equation, for which well-posedness at the level of classical solutions is established. Then, a notion of strong approximating solution, called strong-viscosity solution, is introduced which is supposed to be a substitution tool to the viscosity solution. For that kind of solution, we also prove existence and uniqueness. The notion of strong-viscosity solution motivates the last part of the paper which is devoted to explore this new concept of solution for general semilinear PDEs in the finite dimensional case. We prove an equivalence result between the classical viscosity solution and the new one. The definition of strong-viscosity solution for semilinear PDEs is inspired by the notion of "good" solution, and it is based again on an approximating procedure.

연구 동기 및 목표

• 정규화 기반의 확률 미적분을 사용하여 기능적 이토 미적분을 재구성함으로써, càdlàg 연장에 의존하지 않도록 한다.
• 연속된 과정에 대해 기능적 도함수를 엄밀히 정의하기 위해, 유계이며 왼쪽 연속인 경로의 공간 $\mathscr{C}([-T,0])$ 을 정의한다.
• 경로에 따라 변하는 PDEs에서 고전적 비틀림 해의 대체로 강한-비틀림 해를 도입하고 연구한다.
• 경로에 따라 변하는 열 방정식과 일반적인 반선형 PDEs에 대해 강한-비틀림 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 유한 차원 반선형 케이스에서 강한-비틀림 해와 고전적 비틀림 해 사이의 동치성을 확립한다.

제안 방법

• 유계 함수이면서 $[-T,0[$ 에서 연속이며 0에서 점프가 가능하고, $C([-T,0])$ 가 밀도를 이루는 위상이 부여된 $[-T,0]$ 에서의 함수들로 이루어진 공간 $\mathscr{C}([-T,0])$ 을 정의한다.
• $[0,T] \times C([-T,0]) \to \mathbb{R}$ 에 정의된 함수 $\mathcal{U}$ 를 $\mathscr{C}([-T,0])$ 의 위상에 따라 연속적으로 $[0,T] \times \mathscr{C}([-T,0]) \to \mathbb{R}$ 로 연장한다.
• 정규화 기법을 사용하여 $\mathscr{C}([-T,0])$ 에서 기능적 이토 미적분을 개발하고, 수평 도함수와 수직 도함수를 독립적으로 정의한다.
• 표준 비틀림 해 프레임워크를 대체하기 위해 정규화 기반의 근사 절차를 통한 강한-비틀림 해의 개념을 도입한다.
• 사전 추정과 $\mathbb{L}^q$ 수렴 논증을 사용하여 경로에 따라 변하는 열 방정식에 대해 강한-비틀림 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 강한-비틀림 해가 동일한 비교 원리와 안정성 조건을 만족함을 증명하여 반선형 PDEs에 대해 강한-비틀림 해와 고전적 비틀림 해 사이의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화 기법을 사용하여 경로에 따라 변하는 이토 미적분을 어떻게 재구성할 수 있으며, 이를 통해 경로별 확장 문제를 피할 수 있는가?
• RQ2 중간 공간 $\mathscr{C}([-T,0])$ 이 연속된 경로 과정에 대해 잘 정의된 기능적 도함수를 가능하게 하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 경로에 따라 변하는 PDEs에 대해 비틀림 해의 대체로 정규화 기반의 강한-비틀림 해를 정의할 수 있는가?
• RQ4 경로에 따라 변하는 열 방정식에 대해 강한-비틀림 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 반선형 유한 차원 케이스에서 강한-비틀림 해와 고전적 비틀림 해 사이에 동치성이 존재하는가?

주요 결과

• $\mathscr{C}([-T,0])$ 공간은 $C([-T,0])$ 에 정의된 함수들이 연속적으로 연장될 수 있도록 하여, 수평 도함수와 수직 도함수를 엄밀히 정의할 수 있게 한다.
• 정규화를 통한 유도된 기능적 이토 공식은 디 지로라미와 루소의 바나흐 공간 값 함수의 미적분 프레임워크에서의 공식과 동치이다.
• 사전 추정과 $\mathbb{L}^q$ 수렴 논증을 사용하여 경로에 따라 변하는 열 방정식에 대해 강한-비틀림 해의 존재성과 유일성이 입증된다. 여기서 $q \in [1,2)$ 이다.
• 유한 차원 반선형 PDEs의 경우, 강한-비틀림 해는 고전적 비틀림 해와 동일한 비교 원리와 안정성을 만족한다.
• 표준 가정 하에 강한-비틀림 해 개념은 고전적 비틀림 해와 동치이며, $\mathbb{L}^q$ 에서 수렴하는 근사 수열이 존재한다. 여기서 $q \in [1,2)$ 이다.
• 동치성의 증명은 이중 근사 논증과 국소 등분기하성 조건 하에서 이중 수열의 점별 수렴에 관한 실해석학 레미마에 기반한다.