[논문 리뷰] Optimal Stopping under Nonlinear Expectation

Ibrahim Ekren, Nizar Touzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비선형 기대에 대한 최적 정지 문제에 대해 비선형 스넬 포탄의 특성을 확립하며, 이가 장애물의 첫 번째 도달 시간까지 ${\cal E}$-초마르팅게일임을 증명한다. 주요 기여는 비선형 기대 프레임워크에서 도피한 수렴 정리의 실패를 극복하기 위해 코어-연속 근사법을 사용한 새로운 극한 추론 기법을 제안한 것으로, 이는 고전적 최적 정지 이론을 비정규화된 측도로 확장할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a bounded càdlàg process with positive jumps defined on the canonical space of continuous paths. We consider the problem of optimal stopping the process $X$ under a nonlinear expectation operator $\cE$ defined as the supremum of expectations over a weakly compact family of nondominated measures. We introduce the corresponding nonlinear Snell envelope. Our main objective is to extend the Snell envelope characterization to the present context. Namely, we prove that the nonlinear Snell envelope is an $\cE-$supermartingale, and an $\cE-$martingale up to its first hitting time of the obstacle $X$. This result is obtained under an additional uniform continuity property of $X$. We also extend the result in the context of a random horizon optimal stopping problem. This result is crucial for the newly developed theory of viscosity solutions of path-dependent PDEs as introduced in Ekren et al., in the semilinear case, and extended to the fully nonlinear case in the accompanying papers (Ekren, Touzi, and Zhang, parts I and II).

연구 동기 및 목표

• 비정규화된 가족의 특이 측도를 가진 비선형 기대 하에서 고전적 스넬 포탄 특성의 최적 정지 문제로의 확장을 도모한다.
• 비선형 스넬 포탄이 장애물 $X$의 첫 번째 도달 시간까지 ${\cal E}$-초마르팅게일이자 ${\cal E}$-마르팅게일임을 증명한다.
• 비선형 기대에서 도피한 수렴 정리의 실패를 극복하기 위해 정지 시간 수열에 대한 코어-연속 근사법을 구축함으로써 이를 해결한다.
• 완전 비선형 케이스에 대한 경로에 의존하는 편미분방정식의 볼록해 이론을 뒷받침하기 위해 완전 비선형 케이스에 대한 확률적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 비정규화된 특이 측도의 약한 컴act 가족 $\mathcal{P}$ 위에서 비선형 기대 ${\cal E}[\cdot] := \sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[\cdot]$ 를 정의한다.
• 비선형 스넬 포탄 $Y$ 를 $X_{\tau \wedge \textsc{h}}$ 를 지배하는 최소의 ${\cal E}$-초마르팅게일로 정의한다.
• 비선형 기대에 적응된 동적 프rogramming 원리를 적용하여 ${\cal E}$-초마르팅게일 성질을 증명한다.
• 코어-연속 함수의 단조 수렴 정리(Denis, Hu, and Peng [3])에 기반하여 감소 수열 $Y_{\tau_n}$ 에 대한 극한 추론을 통해 $[0, \tau^*]$ 에서의 ${\cal E}$-마르팅게일 성질을 확립한다.
• 비선형 프레임워크에서 도피한 수렴 정리의 결여에도 불구하고, $Y_{\tau_n}$ 의 코어-연속 근사법을 구성하여 단조 수렴 정리를 적용할 수 있도록 한다.
• 가족 $\mathcal{P}$ 의 약한 컴팩트성을 사용하여 기대의 수렴을 보장하고 반복적인 정지 시간 구성에서 오차 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 스넬 포탄 특성은 비정규화된 측도를 가진 비선형 기대 하에서 최적 정지 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ2 도피한 수렴 정리의 실패로 인해 ${\cal E}$-마르팅게일 성질이 확보되지 않을 경우, $[0, \tau^*]$ 에서 어떻게 ${\cal E}$-마르팅게일 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 비선형 기대 하에서 수렴 추론을 가능하게 하는 데 있어 코어-연속 근사법의 역할은 무엇인가?
• RQ4 과정 $X$ 의 균일 연속성이 부드러움이 없는 상황에서 규칙적인 값 과정의 구성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 비선형 스넬 포탄과 경로에 의존하는 편미분방정식의 볼록해 이론 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비선형 스넬 포탄 $Y$ 는 비선형 기대 프레임워크로 일반화된 고전 결과에 따라 ${\cal E}$-초마르팅게일이다.
• 비선형 스넬 포탄 $Y$ 는 장애물 $X$ 의 첫 번째 도달 시간 $\tau^*$ 까지 ${\cal E}$-마르팅게일이며, 이는 $\tau^*$ 의 최적성 보장한다.
• 도피한 수렴 정리의 실패는 $Y_{\tau_n}$ 의 코어-연속 근사법을 구성함으로써 극복되며, 이는 단조 수렴 정리를 적용할 수 있게 한다.
• 증명은 오차 항을 제어하고 기대 수렴을 보장하기 위해 가족 $\mathcal{P}$ 의 약한 컴팩트성에 크게 의존한다.
• 이 결과는 완전 비선형 경로에 의존하는 편미분방정식의 볼록해에 대한 확률적 기반을 제공하며, 이는 이전의 반선형 케이스 연구를 확장한다.
• 오차 항이 제어된 정지 시간 $\tau^n$ 의 반복적 구성은 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^0}[\widehat{Y}_{\tau^0}] \leq \mathbb{E}^{\mathbb{P}^m}[\widehat{Y}_{\tau^m} \mathbf{1}_{D_m} + \widehat{Y}_{\widehat{\tau}^*} \mathbf{1}_{D_m^c}] + C\bar{\rho}_0(3\delta) + 4\varepsilon$ 를 유도하며, 이는 극한에서 원하는 부등식을 암시한다.