[논문 리뷰] A relationship between trees and Kelly-Mac Lane graphs

Eugenia Cheng|ArXiv.org|2003. 04. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 opetopic n-카테고리에서 사용되는 combed 트리와 특정 형상의 허용 가능한 Kelly-Mac Lane 그래프 사이의 정확한 범주적 동치를 확립한다. 모든 combed 트리는 유일하게 형상 $X_{m_1} \bigotimes \bigotimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$를 갖는 허용 가능한 그래프에 대응되며, 반대로 이러한 허용 가능한 그래프는 유일하게 combed 트리를 정의한다. 이는 대칭 모나드 닫힘 카테고리 내에서 이러한 조합론적 구조의 새로운 대수적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We give a precise description of combed trees in terms of Kelly-Mac Lane graphs. We show that any combed tree is uniquely expressed as an allowable Kelly-Mac Lane graph of a certain shape. Conversely, we show that any such Kelly-Mac Lane graph uniquely defines a combed tree.

연구 동기 및 목표

• opetopic n-카테고리에서 사용되는 combed 트리와 Kelly-Mac Lane 프레임워크 내의 그래프 사이의 정확한 범주적 대응을 확립하기 위해.
• combed 트리가 특정 형상의 허용 가능한 Kelly-Mac Lane 그래프와 이원적 대응 관계에 있음을 보여주기 위해.
• 한 개의 객체 위의 자유 대칭 모나드 닫힘 카테고리 내의 사상의 구조를 통해 트리의 새로운 대수적 특성화를 제공하기 위해.
• 모든 트리의 그래프가 허용 가능하며, 요구 조건을 충족하는 모든 허용 가능한 그래프가 유일한 트리로부터 유래됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 1, I, ⊗, 및 [ , ]를 기반으로 하는 인도크티브 규칙을 사용하여 Kelly-Mac Lane 그래프의 형상과 변수 변동성을 정의하기 위해.
• 도메인과 공도메인의 변동성 목록에서 반대되는 변동성을 갖는 변수의 고정점 없는 쌍을 형성함으로써 그래프를 구성하기 위해.
• Kelly와 Mac Lane(1991)의 정리 1.1을 사용하여, 합성에 대해 닫혀 있고 조건화 조건을 만족하는 허용 가능한 사상으로서의 특성화를 하기 위해.
• 형식적 및 비형식적 인도크티브 구성 방법을 통해 combed 트리를 정의한 후, 그들의 구조를 변수 쌍으로 인코딩하여 그래프로 매핑하기 위해.
• 모든 트리의 그래프가 허용 가능함을 보이기 위해, 필수적인 호환성 및 비순환 조건을 만족함을 증명하기 위해.
• 역방향을 증명하기 위해, 요구 조건을 충족하는 허용 가능한 사상을 구성하고, 그가 유일한 트리로부터 역매핑을 통해 유도됨을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 opetopic n-카테고리에서 유도되는 combed 트리는 Kelly-Mac Lane 프레임워크 내의 그래프로 정확히 특성화될 수 있는가?
• RQ2 combed 트리와 특정 형상의 허용 가능한 Kelly-Mac Lane 그래프 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ3 형상 $X_{m_1} \otimes \cdots \otimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$를 갖는 모든 허용 가능한 Kelly-Mac Lane 그래프는 유일한 combed 트리에 대응하는가?
• RQ4 어떤 구조적 조건이 Kelly-Mac Lane 그래프가 허용 가능하고 트리에 대응함을 보장하는가?
• RQ5 한 개의 객체 위의 자유 대칭 모나드 닫힘 카테고리의 닫힘 카테고리 구조는 트리의 구성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 combed 트리는 형상 $X_{m_1} \otimes \cdots \otimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$를 갖는 허용 가능한 Kelly-Mac Lane 그래프에 유일하게 대응되며, 여기서 $X_m = [1^{\otimes m}, 1]$이다.
• 반대로, 이러한 특정 형상의 허용 가능한 Kelly-Mac Lane 그래프는 유일하게 combed 트리를 정의한다.
• 모든 트리의 그래프가 허용 가능하다는 것은 Kelly와 Mac Lane(1991)의 정리 1.1에서 유도된 호환성 조건을 사용하여 증명된다.
• 지정된 형상의 사상이 허용 가능하지 않음은, 각 $j$에 대해 $A_{t_j}$가 $A_{t_j b_j}$와 쌍을 이루는 인덱스 집합 $\{t_1, \dots, t_n\}$이 존재할 경우에 해당한다. 이는 닫힌 고리가 형성됨을 의미한다.
• 텐서 곱과 쌍대성 사상의 조합을 통해 허용 가능한 사상 $\theta_p$를 구성하는 것이, 역방향에서의 비허용 가능성 증명을 위한 핵심 도구가 된다.
• 이 대응은 이러한 트리의 범주가 한 개의 객체 위의 자유 대칭 모나드 닫힘 카테고리 내에서 특정 형상의 허용 가능한 사상의 전체 부분범주와 동치임을 확립한다.