[논문 리뷰] Weak n-categories: opetopic and multitopic foundations

Eugenia Cheng|ArXiv.org|2003. 04. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대칭 작용을 포함하는 객체의 범주를 포함하도록 대칭 작용을 일반화한 다중 작용을 통해, 약한 $n$-범주를 정의하는 데 사용되는 기본 도형인 opetope와 multitope 사이의 정확한 범주적 동치를 수립한다. Baez-Dolan의 opetopic 집합에서 유래한 opetope와 Hermida-Makkai-Power의 multitopic 집합에서 유래한 multitope는 대칭성과 합성성을 유지하는 구조를 통해 서로 동형임을 보이며, 이는 고차 범주론의 기초에 오랫동안 남아 있던 모호성을 해결한다.

ABSTRACT

We generalise the concepts introduced by Baez and Dolan to define opetopes constructed from symmetric operads with a category, rather than a set, of objects. We describe the category of 1-level generalised multicategories, a special case of the concept introduced by Hermida, Makkai and Power, and exhibit a full embedding of this category in the category of symmetric operads with a category of objects. As an analogy to the Baez-Dolan slice construction, we exhibit a certain multicategory of function replacement as a slice construction in the multitopic setting, and use it to construct multitopes. We give an explicit description of the relationship between opetopes and multitopes.

연구 동기 및 목표

• 약한 $n$-범주를 정의하는 데 있어 opetopic 접근과 multitopic 접근 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 객체를 집합으로 다루는 Baez-Dolan의 원래 opetope 구성에서 발생하는 동형사라짐 문제로 인한 기초적 모호성을 해결하기 위해.
• 객체에 범주적 구조를 포함하도록 대칭 다중범주를 일반화함으로써 opetope와 multitope 사이의 형식적 동치를 수립하기 위해.
• 두 프레임워크에서의 자르기 구조가 각 차원에서 동형인 형태를 산출함을 보여주기 위해.
• 범주론적으로 $k$-opetope의 범주가 $k$-multitope의 집합과 동형임을, 범주 동치를 통해 보여주기 위해.

제안 방법

• 객체의 집합이 아니라 객체의 범주를 포함하도록 대칭 다중범주를 일반화하여, 객체 간의 동형사슬을 정확히 추적할 수 있도록 하기 위해.
• 일반화된 다중범주에 있는 화살표에 대칭 작용을 자유롭게 추가하는 함수 $\xi: \text{GenMulticat} \to \text{SymMulticat}$를 정의하기 위해.
• $\xi$가 전사적이고 충실하며, 그 상이 객체 이산적이고 자유롭게 대칭적인 대칭 다중범주로 이루어져 있음을 증명하기 위해.
• 대칭 다중범주에 대한 자르기 구조를 도입하기 위해: $Q^{+}$ 는 $\xi(M)$ 위의 사상 범주로 정의되며, 구조를 유지한다.
• opetope는 단위 대칭 다중범주 $I$ 의 반복 자르기로 정의되며, $I^{k+}$ 를 얻고, multitope는 단위 일반화 다중범주 $J$ 의 반복 자르기로 정의되며, $J_{k+}$ 를 얻는다.
• 귀납법을 통해 $\xi(J_{k+}) \simeq I^{k+}$ 의 동치를 수립함으로써, 두 구성 방식이 $k$-세포의 동형 범주를 산출함을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 $n$-범주를 정의하는 데 있어 opetopic 접근과 multitopic 접근은 범주론적으로 동치인가?
• RQ2 대칭성과 동형 정보를 정확히 유지할 경우, opetope와 multitope 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 Baez-Dolan의 자르기 구성은 객체에 범주적 구조를 포함하도록 일반화될 수 있으며, 이는 원래의 동형관계를 복원하는가?
• RQ4 multitopic 설정에서의 함수 치환 다중범주는 opetopic 설정에서의 자르기 구성과 동치인가?
• RQ5 두 프레임워크에서의 반복 자르기 과정이 각 차원 $k$ 에서 동형인 형태를 산출하는가?

주요 결과

• 범주론적으로 $k$-opetope의 범주 $\mathbb{C}_k$ 는 $k$-multitope의 집합 $P_k$ 와 동형이며, $\xi(J_{k+}) \simeq I^{k+}$ 를 통해 이를 보여준다.
• 함수 $\xi: \text{GenMulticat} \to \text{SymMulticat}$ 는 전사적이고 충실하며, 그 상은 정확히 객체 이산적이고 자유롭게 대칭적인 대칭 다중범주로 이루어져 있다.
• 대칭 다중범주에 대한 자르기 구조 $Q^{+}$ 는 opetope를 복원하기 위해 필요한 구조를 유지하며, $M_{k+}$ 를 통한 multitopic 구성과 호환된다.
• 두 프레임워크에서의 반복 자르기 과정은 동형인 형태를 산출한다: $I^{k+}$ 와 $J_{k+}$ 는 $\xi(J_{k+}) \simeq I^{k+}$ 를 통해 관련되어 있으며, 이는 핵심 동치를 증명한다.
• 원래 Baez-Dolan 구성은 객체를 집합으로 다루기 때문에 동형 정보를 손실한다; 본 논문은 객체의 범주를 사용함으로써 이를 복원하여 두 접근 방식이 동치가 됨을 보여준다.
• opetopic 구성에서 사용된 모든 대칭 다중범주는 $\xi$ 의 상에 있는 어떤 것과도 범주론적으로 동치이며, 이는 두 구성 방식이 잘 정의되어 있고 동형관계를 정확히 반영함을 보장한다.