[논문 리뷰] A relative notion of algebraic Lie group and applications to $n$-stacks

Carlos Simpson|ArXiv.org|1996. 07. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기저 스킴 S 위에서의 대수적 리 군의 상대적 일반화인 '제시 가능한 군 층'을 도입한다. 이는 연결성과 리 대수와 같은 개념을 상대적 맥락으로 확장하며, 이를 통해 '제시 가능한 n-스택'을 정의한다. 이러한 스택들은 호모토피 섬유곱과 단절에 대해 닫혀 있으며, 그로텐디크가 예견한 바와 같이 특성 0에서 호모토피 유형의 스킴화를 실현한다.

ABSTRACT

If $S$ is a scheme of finite type over $k=\cc $, let $\Xx /S$ denote the big etale site of schemes over $S$. We introduce {\em presentable group sheaves}, a full subcategory of the category of sheaves of groups on $\Xx /S$ which is closed under kernel, quotient, and extension. Group sheaves which are representable by group schemes of finite type over $S$ are presentable; pullback and finite direct image preserve the notions of presentable group sheaves; over $S=Spec (k)$ then presentable group sheaves are just group schemes of finite type over $Spec(k)$; there is a notion of connectedness extending the usual notion over $Spec(k)$; and a presentable group sheaf $G$ has a Lie algebra object $Lie(G $. If $G$ is a connected presentable group sheaf then $G/Z(G)$ is determined up to isomorphism by the Lie algebra sheaf $Lie (G)$. We envision the category of presentable group sheaves as a generalisation relative to an arbitrary base scheme $S$, of the category of algebraic Lie groups over $Spec (k)$. The notion of presentable group sheaf is used in order to define {\em presentable $n$-stacks} over $\Xx$. Roughly, an $n$-stack is presentable if there is a surjection from a scheme of finite type to its $π_0$ (the actual condition on $π_0$ is slightly more subtle), and if its $π_i$ (which are sheaves on various $\Xx /S$) are presentable group sheaves. The notion of presentable $n$-stack is closed under homotopy fiber product and truncation. We propose the notion of presentable $n$-stack as an answer in characteristic zero for A. Grothendieck's search for what he called ``schematization of homotopy types''.

연구 동기 및 목표

• 기저 스킴 S 위에서 임의의 스킴에 대해 대수적 리 군의 개념을 상대적 맥락으로 일반화하기 위해.
• A. 그로텐디크가 특성 0에서 호모토피 유형의 스킴화를 추구하는 데에 응답하기 위해.
• 호모토피 이론적 구성에 대해 잘 행동하는 '제시 가능한 n-스택'이라는 n-스택의 클래스를 정의하기 위해.
• 기본적인 리 이론적 개념들인 연결성과 리 대수를 층 이론적이고 상대적인 맥락으로 일반화하기 위해.
• sheaf-이론적 군 구조를 통해 대수적 기하학이 고차 호모토피 유형을 모델링할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 기저 스킴 S 위의 큰 에테일 사이트에서 군 층의 전부의 부분범주로서 '제시 가능한 군 층'을 도입하며, 이는 균근, 몫, 확장에 대해 닫혀 있다.
• S 위에서 유한형 타입인 표현 가능한 군 스킴은 제시 가능하며, 당김과 유한 직접 이미지가 제시 가능성을 보존함을 증명한다.
• 제시 가능한 군 층에 대해 상대적 연결성의 개념을 정의하며, Spec(k) 위에서의 고전적 개념을 일반화한다.
• 모든 제시 가능한 군 층 G에 대해 리 대수 대상 Lie(G)를 구성하며, 고전적 리 대수 구성법을 일반화한다.
• 그들의 호모토피 층 π₀ 및 πᵢ (i ≥ 1)에 대한 조건을 통해 '제시 가능한 n-스택'을 정의한다. 이때 π₀는 유한형 스킴에 의해 표현 가능해야 하며, πᵢ는 제시 가능한 군 층이어야 한다.
• 제시 가능한 n-스택의 범주가 호모토피 섬유곱과 단절에 대해 닫혀 있음을 보이며, 주요 호모토피 이론적 연산에 대한 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 스킴 S 위에서의 상대적 맥락으로 일반화된 고전적 대수적 리 군의 개념은 어떻게 정의될 수 있는가?
• RQ2 기저 스킴 S 위의 큰 에테일 사이트에서 군 층이 상대적 대수기하학 맥락에서 리 군처럼 행동하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 sheaf-이론적 군 구조를 사용하여 특성 0에서 호모토피 유형의 스킴화 개념을 달성할 수 있는가?
• RQ4 고전적 리 이론적 불변량인 리 대수와 수반 표현은 이 상대적 프레임워크에서 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 호모토피 층이 제시 가능한 군 층으로 제한된 경우, n-스택은 어떤 구조적 성질을 갖는가?

주요 결과

• 제시 가능한 군 층은 균근, 몫, 확장에 대해 닫혀 있는 전부의 부분범주로서, S 위에서 유한형 타입의 군 스킴를 일반화한다.
• S = Spec(k)일 때, 제시 가능한 군 층은 Spec(k) 위에서 유한형 타입의 군 스킴과 일치하며, 고전적 경우를 복원한다.
• 연결된 제시 가능한 군 층 G는 Lie(G) ≅ Lie(G')이면 G/Z(G) ≅ G' / Z(G')를 만족함으로써, 수반 군이 리 대수에 의해 결정됨을 보여준다.
• 모든 제시 가능한 군 층 G에 대해 리 대수 대상 Lie(G)가 존재하며, 고전적 구성법을 일반화한다.
• 제시 가능한 n-스택은 호모토피 섬유곱과 단절에 대해 안정적이며, 좋은 호모토피 이론적 행동을 보장한다.
• 이 프레임워크는 그로텐디크의 특성 0에서 호모토피 유형의 스킴화를 실현하기 위한 비전을 sheaf-이론적 대수적 리 군의 일반화를 통해 실현한다.