[논문 리뷰] A remark on norm inflation for nonlinear Schrödinger equations

Nobu Kishimoto|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 26.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 40인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비선형 항이 다항식인 반선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 비정규적 도메인과 주기적 도메인에서 음의 소볼레프 공간에서의 노름 폭발(norm inflation)을 수립한다. Iwabuchi-Ogawa 방법을 일반적인 비선형성, 즉 게이지 불변이 아니고 복소수 계수를 가진 경우까지 확장함으로써, $ s < \min\{s_c(d,p), 0\} $ 에서 $ H^s $ 공간에서의 악재수학성(ill-posedness)을 증명하며, 이는 척도 임계성과 하위임계성 영역을 포함한다. 고주파수에서 저주파수로의 에너지 전이를 통해 강력한 불안정성을 보여준다.

ABSTRACT

We consider semilinear Schrödinger equations with nonlinearity that is a polynomial in the unknown function and its complex conjugate, on $\mathbb{R}^d$ or on the torus. Norm inflation (ill-posedness) of the associated initial value problem is proved in Sobolev spaces of negative indices. To this end, we apply the argument of Iwabuchi and Ogawa (2012), who treated quadratic nonlinearities. This method can be applied whether the spatial domain is non-periodic or periodic and whether the nonlinearity is gauge/scale-invariant or not.

연구 동기 및 목표

• 비선형 항이 다항식인 반선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 음의 소볼레프 공간 $ H^s $ 에서의 노름 폭발(NI s)을 수립하여 강력한 악재수학성을 나타내는 것.
• Iwabuchi-Ogawa 방법을 이차 비선형성과 게이지 불변성의 경우를 초월하여 일반적인 다항식 비선형성과 복소수 계수를 가진 경우로 확장하는 것.
• 특히 척도 임계성과 주기성이 표준 접근법을 복잡하게 만드는 영역에서 $ s < 0 $ 에서 해의 사상이 $ H^s $ 에서 어떻게 행동하는지 분석하는 것.
• 노름 폭발이 척도 임계 정규성 이하 뿐 아니라 특정 경우인 $ (d,p) = (1,3), (2,2) $ 에서 척도 임계 지수 $ s = s_c(d,p) $ 에서도 발생함을 보여주는 것.

제안 방법

• 해의 멱급수 전개에 Iwabuchi-Ogawa 추론을 적용하여 주파수 국소화된 노름에서 각 항의 성장에 초점을 맞춘다.
• dyadic 사영 $ U_k[\phi] $ 를 통한 주파수 국소화를 이용하여 고주파수에서 저주파수로의 에너지 전이를 추적한다.
• Fourier 변환과 Young의 부등식을 포함한 $ L^p $ 기반 조절 공간 $ D^{[\alpha]}_{p,q} $ 와 해 성분의 크기를 제어하기 위한 추정을 사용한다.
• 해 전개에서 $ k $-번째 항에 대한 재귀적 추정을 구현하여, 특정 매개변수 조건 하에서 고차항이 음의 소볼레프 노름에서 지배함을 보여준다.
• 제어 가능한 $ H^s $-노름을 가지되 고주파수 성분이 큰 초기 자료 $ \phi $ 를 구성하여 시간 $ T \sim N^{-2} $ 에서 노름 폭발을 유도한다.
• 매개변수 $ r, A, T $ 를 선택하여 노름 폭발 조건을 검증한다: $ \|\phi\|_{H^s} \ll \delta $, $ T \ll \delta $, $ \|u(T)\|_{H^s} \gg \delta^{-1} $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게이지 불변성이나 계수의 실수성과 관계없이, 비선형 항이 일반적인 다항식인 경우에 대해 $ \mathbb{R}^d $ 와 $ \mathbb{T}^d $ 에서 음의 소볼레프 공간에서 노름 폭발이 발생하는가?
• RQ2 Iwabuchi-Ogawa 방법은 이차 비선형성과 게이지 불변이 아닌 경우까지 확장 가능한가?
• RQ3 노름 폭발이 성립하는 정규성의 정확한 범위 $ s $ 는 무엇이며, 특히 척도 임계 지수 $ s_c(d,p) $ 에서나 그 이하에서 성립하는가?
• RQ4 주기적 설정에서 $ (p,q) = (2,1) $ 인 경우에 노름 폭발이 가능한가? 어떤 정규성 임계값이 적용되는가?
• RQ5 이 방법은 해의 사상에서 무한한 정규성 손실을 탐지할 수 있으며, 어떤 조건에서 그러한 현상이 발생하는가?

주요 결과

• 모든 $ s < \min\{s_c(d,p), 0\} $ 에서, 공간 도메인($ \mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{T}^{d_2} $)이나 비선형성 유형에 관계없이 $ H^s $ 에서의 노름 폭발이 발생한다.
• $ (d,p) = (1,3) $ 과 $ (2,2) $ 인 경우에 대해, 척도 임계 지수 $ s = s_c(d,p) = -\frac{1}{2}, -1 $ 에서도 노름 폭발이 성립한다.
• $(p,q) = (2,1)$ 인 경우, $ \mathbb{R}^d $ 에서 $ d \leq 3 $ 에서 $ s < -\frac{1}{4} $, $ \mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{T}^{d_2} $ 에서 $ d_1 + d_2 \leq 3 $, $ d_2 \geq 1 $ 일 때 $ s < 0 $ 에서 노름 폭발이 증명된다.
• $ \mathbb{T} $ 에서는 $ (p,q) = (4,1), (4,2), (4,3) $ 인 경우에 대해 모든 $ s < 0 $ 에서 노름 폭발이 성립하며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 이 방법은 부드러운 비선형성에 대해 무한한 정규성 손실을 새롭게 증명하며, Carles, Dumas, 그리고 Sparber(2012) 및 Carles와 Kappeler(2014)의 결과를 복원하고 확장한다.
• 구성된 해는 $ \|u(T)\|_{H^s} \gg \delta^{-1} $ 이면서 $ \|\phi\|_{H^s} < \delta $, $ T < \delta $ 를 만족하여, 단순한 해의 사상 불연속성 이상의 강력한 불안정성을 확인한다.