[논문 리뷰] A remark on the scattering theory for the 2d radial focusing INLS

Chengbin Xu, Tengfei Zhao|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 02.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $0 < b < 1$ 이며 $2 - b < p < \infty$ 인 2차원 집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식(INLS)에서 기저 상태 이하의 반경대칭 해에 대해 농도(compactness)를 피하기 위해 수정된 비르발(Morawetz) 추정과 반경대칭 소볼레프 포함을 사용하여 산란에 대한 새로운 증명을 제시한다. 주요 결과는 기저 상태 이하의 질량-에너지 및 기울기 노름 조건을 만족하는 경우 전역 적으로 잘 정의된 해와 산란을 보장한다.

ABSTRACT

We consider the scattering results of the radial solutions below the ground state to the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation $$i\partial_tu+Δu +|x|^{-b}|u|^{p}u=0$$ in two dimension, where $0<b></b>

연구 동기 및 목표

• 이전의 농도(compactness) 방법의 범위를 초월하여 2차원 반경대칭 집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식(INLS)에 대한 산란 결과를 확장하기 위해.
• 농도(compactness) 방법을 사용하지 않고 기저 상태 에너지-질량 임계값 이하의 반경대칭 해에 대한 산란에 대한 새로운 증명을 제공하기 위해.
• Viribal/Morawetz 항등식과 반경대칭 소볼레프 포함을 기반으로 한 새로운 산란 기준을 $H^1$ 프레임워크 내에서 수립하기 위해.
• 기저 상태 임계값 조건을 만족하는 초기 자료를 가진 해가 $H^1$에서 균일 유계이면서 $t \to \pm\infty$일 때 산란함을 확인하기 위해.

제안 방법

• 농도(compactness) 방법에 의존하지 않는 새로운 산란 기준을 도출하기 위해 아라오-도드슨-머피 방법의 수정된 버전을 사용한다.
• 시간에 따라 $|x| \leq R$ 에서 컴 pact 지지가 있는 반경대칭 가중치 함수 $a(x)$ 를 도입하고, $R < |x| \leq 2R$ 에서 전이하도록 하여, 비음성 헤시안과 제어 가능한 도함수를 확보한다.
• 모라웨츠 작용 $M_a(t)$ 에 대해 비르발(Morawetz) 항등식을 유도하여 시간 도함수를 운동에너지, 잠재에너지 및 가중치 항과 연결한다.
• 가비아르도-니렌베르크 부등식과 보존 법칙을 통해 큰 구에서의 강제성(coercivity)을 확립하여 국소 $L^2$-노름과 기울기 노름이 기저 상태 임계값 이하로 유지됨을 보장한다.
• 에너지 공간에서 비균일항 $|x|^{-b}|u|^{p+2}$ 를 제어하기 위해 반경대칭 소볼레프 포함을 적용한다.
• 기본 정리의 적분을 시간 적분 $ oneqfrac{dM_a}{dt}$ 에 적용하여, 최적의 $R = T^{1/(1+\alpha)}$ 를 사용해 $ int |x|^{-b}|u|^{p+2}dx$ 의 시간 적분에 대한 유계성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 집중형 INLS의 반경대칭 해에 대해 농도(compactness) 방법 없이 산란을 증명할 수 있는가?
• RQ2 기저 상태에 대한 질량-에너지 및 기울기 노름 조건에 비해 산란의 정확한 임계값은 무엇인가?
• RQ3 비균일항 $|x|^{-b}|u|^{p+2}$ 를 다루기 위해 Viribal/Morawetz 추정을 $L^2$-임계 영역에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 반경대칭 소볼레프 포함과 큰 구에서의 강제성(coercivity)을 사용하여 비선형성을 제어하고 산란을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 기저 상태 조건을 만족하는 초기 조건 $M(u_0)^{1-s_p}E(u_0)^{s_p} < M(Q)^{1-s_p}E(Q)^{s_p}$ 하에서 2차원 반경대칭 집중형 INLS의 해 $u$ 는 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 에서 전역적으로 잘 정의되고 산란한다.
• 기울기 노름 조건 $\|u_0\|_{L^2}^{1-s_p}\|\nabla u_0\|_{L^2}^{s_p} < \|Q\|_{L^2}^{1-s_p}\|\nabla Q\|_{L^2}^{s_p}$ 는 해가 기저 상태 임계값 이하로 유지됨을 보장한다.
• 모라웨츠 항등식과 반경대칭 소볼레프 포함을 통해 농도(compactness) 방법을 피할 수 있는 새로운 산란 기준이 수립된다.
• 시간 적분된 $L^{p+2}$-노름 $ int |x|^{-b}|u|^{p+2}dx$ 는 $R + T/R^\alpha$ 로 유계이며, $ alpha = \min\{2, b + p/2\}$ 이므로 $ int_0^T \int |x|^{-b}|u|^{p+2} dx dt \lesssim T^{1/(1+\alpha)}$ 이다.
• 모라웨츠 항등식은 $M_a(t)$ 에 대해 균일 유계성을 도출하여 $ sup_t |M_a(t)| \lesssim R$ 이며, 이는 시간 적분에 있어 핵심적인 역할을 한다.