[논문 리뷰] A review on SUSY gauge theories on $S^3$

Kazuo Hosomichi|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 22.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 46인용 수 15

한 줄 요약

이 리뷰는 국소화와 기울인 구면 배경을 통해 3D ${\cal N}=2$ 초대칭 게이지 이론과 4D 초등방형 지수 사이의 정확한 대응을 수립한다. 기울인 구면 $S^3_b$ 위에서의 타원형 분할 함수는 스케르크-스카우저 축소를 통해 4D 초등방형 지수를 포함하며, 이중사인 함수 $s_b(x)$는 3D 분할 함수와 2D CFT의 구조상수를 연결한다.

ABSTRACT

This is the 9th article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J.Teschner. We review the exact computations in 3D N=2 supersymmetric gauge theories on the round or squashed $S^3$ and the relation between 3D partition functions and 4D superconformal indices.

연구 동기 및 목표

• 3D ${\cal N}=2$ 초대칭 게이지 이론과 4D 초등방형 지수 사이의 정확한 대응을 수립하기 위해.
• 3D 분할 함수와 4D 지수 계산 간의 관계에서 기울임 매개수 $b$의 역할을 명확히 하기 위해.
• 국소화를 통해 둥근 $S^3$과 기울인 $S^3$ 위에서의 3D 분할 함수 및 루프 관측량을 통합적으로 묘사하기 위해.
• S-duality 도메인 벽에서의 AGT 유사 대응을 통해 3D 게이지 이론 결과를 2D 등방형 양자장 이론과 연결하기 위해.
• 이중사인 함수 $s_b(x)$가 3D 분할 함수와 4D 지수 계산에서 어떻게 자연스럽게 유도되는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 3D 경로 적분을 초순수한 국소화를 통해 초순수한 고정점 위의 유한차원 적분으로 축소한다. 이는 $S^3$과 $S^3_b$ 위에서 수행된다.
• U(1)×U(1) 등장성 대칭을 가진 기울인 $S^3_b$ 배경을 사용하여 배경 벡터 및 스칼라 장을 통해 강체 ${\cal N}=2$ 초대칭을 유지한다.
• 이중사인 함수 $s_b(x)$를 이용해 $S^3_b$ 위에서의 3D 분할 함수를 유도한다. 이 함수는 제타-정규화된 무한곱으로 정의된다.
• S^1 × S^3 위에서의 스케르크-스카우저 축소를 통해 3D 분할 함수를 4D 초등방형 지수와 연결한다. 이때 경계 조건이 왜곡된다.
• 기울임 매개수 $b$를 리우빌/토다 CFT의 결합 상수와 연결하여, $s_b(x)$가 3D 분할 함수와 4D 지수의 구조상수 양쪽 모두에 나타남을 보여준다.
• 국소화를 통해 윌슨 루프와 같은 루프 관측량을 분석하여, $s_b(x)$로 표현된 정확한 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울인 $S^3_b$ 위에서의 3D 분할 함수는 4D 초등방형 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 3D 게이지 이론과 4D CFT 간의 연결에서 기울임 매개수 $b$는 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이중사인 함수 $s_b(x)$는 3D 분할 함수와 4D 지수 계산에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 S^1 × S^3의 스케르크-스카우저 축소는 어떻게 $SU(2)×U(1)$ 등장성 대칭을 가진 기울인 $S^3$ 배경을 재현하는가?
• RQ5 4D ${\cal N}=2$ 이론의 S-duality 도메인 벽은 AGT 유사 관계를 통해 3D-2D 대응을 어떻게 이끌어내는가?

주요 결과

• 기울인 $S^3_b$ 위에서의 3D ${\cal N}=2$ 분할 함수는 기울임 매개수 $b$에 비선형적으로 의존하는 이중사인 함수 $s_b(x)$의 곱으로 주어진다.
• 4D 초등방형 지수는 스케르크-스카우저 축소를 통해 $S^3_b$ 위에서의 3D 분할 함수의 $S^1$ compactification 극한으로 정확히 재현된다.
• 제타-정규화된 곱으로 정의된 이중사인 함수 $s_b(x)$는 3D 분할 함수와 $b$ 결합 상수를 가진 2D 리우빌/토다 CFT의 구조상수에 모두 나타난다.
• 3D 배경에서의 기울임 매개수 $b$는 리우빌 결합 상수와 대응되며, 이는 3D 게이지 이론과 2D CFT 간의 직접적인 연결 고리를 형성한다.
• 3D ${\cal N}=2$ 이론에서 $S^3$ 위의 윌슨 루프 기대값은 국소화를 통해 정확히 계산되며, 이는 $s_b(x)$로 표현된다.
• 기울인 $S^3_b$ 위에서의 3D 분할 함수는 $b \to b^{-1}$에 대해 불변이며, 이는 4D 이론에서의 S-duality를 반영하고 3D 및 4D 묘사 간의 대칭성을 확인한다.