[논문 리뷰] A simple finite element method for the boundary value problem with a Riemann-Liouville derivative

Bangti Jin, Raytcho Lazarov외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 27.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 순서 $\alpha \in (3/2, 2)$인 리만-리우빌 분수도수 도함수를 가진 경계값 문제를 위한 새로운 유한요소법을 제안한다. 문제는 리만-리우빌 적분을 통해 변환되어 해의 특이성을 부드럽게 하고, 표준 유한요소법을 사용하여 최적의 $L^2$ 수렴률을 달성할 수 있도록 한다. 이 방법은 최적의 수렴률을 달성하며, 분수도수 슈트름-리우빌 문제로 자연스럽게 확장된다.

ABSTRACT

We consider a boundary value problem involving a Riemann-Liouville fractional derivative of order $α\in (3/2,2)$ on the unit interval $(0,1)$. The standard Galerkin finite element approximation converges slowly due to the presence of singularity term $x^{α-1}$ in the solution representation. In this work, we develop a simple technique, by transforming it into a second-order two-point boundary value problem with nonlocal low order terms, whose solution can reconstruct directly the solution to the original problem. The stability of the variational formulation, and the optimal regularity pickup of the solution are analyzed. A novel Galerkin finite element method with piecewise linear or quadratic finite elements is developed, and $L^2(D)$ error estimates are provided. The approach is then applied to the corresponding fractional Sturm-Liouville problem, and error estimates of the eigenvalue approximations are given. Extensive numerical results fully confirm our theoretical study.

연구 동기 및 목표

• 해의 특이성으로 인해 표준 갈레르킨 유한요소법(FEM)의 수렴 속도가 느려지는 분수도수 BVP에 대해 이를 해결하기 위해.
• 해의 특이성 $x^{\alpha-1}$가 존재하더라도 최적의 수렴률을 유지하는 안정적이고 효율적이며 정확한 유한요소법을 개발하기 위해.
• 리만-리우빌 도함수를 가진 분수도수 슈트름-리우빌 문제로 이 방법을 확장하여 정확한 고유값 근사치를 가능하게 하기 위해.
• 변환된 변분형식과 그 유한요소 이산화에 대한 엄밀한 안정성 및 오차 분석을 제공하기 위해.

제안 방법

• 리만-리우빌 적분 연산자 ${}_0I_x^{2-\alpha}$를 사용하여 원래의 분수도수 BVP를 비국소적 저차항을 가진 등가의 두 번째 차수 두점 경계값 문제로 변환하기.
• 이 변환은 특이항 $x^{\alpha-1}$을 부드러운 함수 $x$로 매핑하여 표준 유한요소 근사를 가능하게 한다.
• 가중 치르니코프 공간을 사용하고 그 잘 정의됨을 분석함으로써 변환된 문제에 대한 안정적인 변분형식을 유도하기.
• 변환된 문제에 대해 일차 및 이차 조각별 연속 선형 유한요소를 적용하여 최적의 $L^2(D)$ 오차 추정치를 확보하기.
• 분수도수 미분을 통해 변환된 해에서 원래 해를 재구성하고, expm1 함수를 이용하여 안정적인 수치 계산을 수행하기.
• 이 방법을 분수도수 슈트름-리우빌 문제로 확장하고 고유값 근사치의 수렴률을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이성을 가진 분수도수 BVP에 대해 변환 기반 유한요소법이 리만-리우빌 도함수를 가진다 해도 최적의 $L^2$ 수렴률을 달성할 수 있는가?
• RQ2 리만-리우빌 적분 ${}_0I_x^{2-\alpha}$를 통해 문제를 변환하면 특이성 $x^{\alpha-1}$이 정규 함수로 부드럽게 되는가?
• RQ3 제안된 방법은 고유값 근사치에 대해 증명 가능한 수렴률을 보장하는 분수도수 슈트름-리우빌 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ4 변환된 변수에서 변분형식의 안정성 및 정규성 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 변환된 문제는 최적의 정규성 향상을 보이는 안정적인 변분형식을 갖추고 있어 유한요소 근사에 대해 최적의 수렴률을 달성할 수 있다.
• 일차 유한요소에 대해 $O(h^2)$, 이차 유한요소에 대해 $O(h^3)$의 최적 $L^2(D)$ 오차 추정치가 확립되었다.
• 특이성을 직접 제거하는 대신 변환을 통해 해결함으로써 표준 갈레르킨 FEM보다 향상된 수렴률을 달성한다.
• 이 방법은 분수도수 슈트름-리우빌 문제로 확장 가능하며, 고유값 근사치에 대한 수렴률이 확립되었다.
• 수치 결과는 이론적 오차 추정치를 확인하고 다양한 시험 케이스에서 이 방법의 효율성과 강건성을 보여준다.
• 반올림 오차를 방지하기 위해 expm1 함수를 사용하여 해 재구성에서 분수도수 미분을 안정적으로 계산할 수 있었다.