[논문 리뷰] A solvable two-dimensional singular stochastic control problem with non convex costs

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동에 의한 시장 가격을 고려한 전기 저장 문제에서 비볼록 비용을 가진 두 차원 특이 스토하스틱 제어 문제에 대한 완전한 분석적 해를 제공한다. 가치 함수, 최적 제어 및 자유 경계의 명시적 표현을 유도하며, 일정한 구간에서 부드러운 맞춤 조건을 만족하는 두 개의 단조적이고 불연속적인 밀려나는 경계를 특징으로 하여, 종료 비용과 유한한 용량 제약 조건 하에서 최적 배터리 충전의 완전한 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we provide a complete theoretical analysis of a two-dimensional degenerate non convex singular stochastic control problem. The optimisation is motivated by a storage-consumption model in an electricity market, and features a stochastic real-valued spot price modelled by Brownian motion. We find analytical expressions for the value function, the optimal control and the boundaries of the action and inaction regions. The optimal policy is characterised in terms of two monotone and discontinuous repelling free boundaries, although part of one boundary is constant and the smooth fit condition holds there.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 비용을 가진 두 차원 열화된 특이 스토하스틱 제어 문제에 대한 완전한 이론적 해를 제공하는 것.
• 브라운 운동으로 모델링된 확률적 시장 가격을 가진 전기 시장에서 최적 배터리 충전 전략을 분석하는 것.
• 가치 함수, 최적 제어 및 행동 영역과 정지 영역 경계의 분석적 특성화를 하는 것.
• 이전 연구에서 옴스타인-울렌벡 동역학 하에서 열려 있던 케이스를 브라운 운동 하에서 해결함으로써 이를 해결하는 것.
• 비볼록 비용 프레임워크 내에서 자유 경계의 구조, 특히 불연속성과 부드러운 맞춤 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식을 통해 상태에 따라 변화하는 기울기 제약 조건이 있는 유한 연료 특이 스토하스틱 제어 문제로 문제를 수립한다.
• 시장 가격을 일차원 브라운 운동으로 모델링하여 실세계 전기 시장 역학을 반영하기 위해 음수 값을 허용한다.
• 최적 제어를 두 개의 자유 경계를 가진 특이 제어로 식별한다: 하나는 일정하고 다른 하나는 불연속적이며, 일정 부분에서는 부드러운 맞춤 조건이 성립한다.
• 비볼록성의 총 기대 비용을 반영하기 위해 d.c.(볼록 함수의 차) 비용 함수를 사용한다.
• 가액 해법을 사용하면서도, 정지 영역, 행동 영역, 종료 제어 영역 등 서로 다른 영역에서 가치 함수를 명시적으로 구성한다.
• 라플라스 변환 및 그 역변환을 통한 변환을 통해 특수 함수와 경계 파rameter에 따라 가치 함수 및 그 도함수의 명시적 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 비용과 브라운 운동 가격 역학을 가진 두 차원 특이 스토하스틱 제어 문제에서 최적 제어 정책의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 행동 영역과 정지 영역 경계는 어떻게 행동하며, 부드러운 맞춤 조건이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 비볼록 문제에 대해 가치 함수와 최적 제어를 닫힌 형태로 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ4 비용 함수의 비볼록성은 특이 스토하스틱 제어와 최적 정지 문제 간의 관계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유한한 배터리 용량 제약 조건은 최적 충전 전략과 경계의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 가치 함수는 정지 영역, 행동 영역, 종료 제어 영역에서 서로 다른 표현을 가진 조각 함수로 명시적으로 특성화된다.
• 최적 제어는 일정 경계와 불연속 경계를 가진 두 개의 자유 경계를 통해 시행되며, 후자는 단조적이고 밀려나는 성질을 가진다.
• 일정 경계 구간에서는 부드러운 맞춤 조건이 성립하며, 이는 가치 함수의 도함수가 제어의 한계 비용과 일치함을 의미한다.
• 자유 경계는 역라플라스 변환과 특수 함수를 포함하는 비선형 방정식계를 풀어 결정되며, 初기 재고 수준 $ c $ 에 대한 명시적 의존성을 가진다.
• 해석 결과는 비용 함수의 d.c. 구조가 복잡한 경계 행동을 유도하며, 특정 매개변수 영역에서만 최적 정지 문제와의 연결 고리가 존재함을 확인한다.
• 문제는 제어가 확산과 수직으로 작용함으로써 열화된 것으로 확인되었으며, 이러한 구조적 과제에도 불구하고 해는 유효하다.