[논문 리뷰] A sparse ADMM-based solver for linear MPC subject to terminal quadratic constraint

Pablo Krupa, Rim Jaouani외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 18.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 46인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 종단 타원체 제약 조건을 갖는 선형 모델 예측 제어(MPC)를 위한 희소 ADMM 기반 솔버를 제안한다. 기존의 다면체 불변 집합 대신 종단 타원체 제약 조건을 도입하여 제약 조건 수를 줄이고 계산 효율성을 향상시킨다. 이 솔버는 임베디드 시스템에 최적화되어 있으며, 낮은 메모리 사용량과 외부 라이브러리 의존성이 없으며, 다변수 식물 시뮬레이션에서 실시간 성능을 입증하였다.

ABSTRACT

Model Predictive Control (MPC) typically includes a terminal constraint to guarantee stability of the closed-loop system under nominal conditions. In linear MPC this constraint is generally taken on a polyhedral set, leading to a quadratic optimization problem. However, the use of an ellipsoidal terminal constraint may be desirable, leading to an optimization problem with a quadratic constraint. In this case, the optimization problem can be solved using Second Order Cone (SOC) programming solvers, since the quadratic constraint can be posed as a SOC constraint, at the expense of adding additional slack variables and possibly compromising the simple structure of the solver ingredients. In this paper we present a sparse solver for linear MPC subject to a terminal ellipsoidal constraint based on the alternating direction method of multipliers algorithm in which we directly deal with the quadratic constraints without having to resort to the use of a SOC constraint nor the inclusion of additional decision variables. The solver is suitable for its use in embedded systems, since it is sparse, has a small memory footprint and requires no external libraries. We compare its performance against other approaches from the literature.

연구 동기 및 목표

• 선형 MPC에서 다면체 종단 불변 집합을 타원체 집합으로 대체하여 제약 조건 수를 줄이고 계산을 단순화한다.
• 타원체 종단 제약 조건으로 인해 발생하는 이차 제약 조건이 붙은 이차 프로그래밍 문제(QCQP)를 위한 전용이고 임베디드 친화적인 솔버를 개발한다.
• 실시간 임베디드 제어 시스템에 구현하기 위해 낮은 메모리 프로필과 외부 라이브러리 의존성이 없도록 보장한다.
• 시뮬레이션된 다변수 식물에서 임베디드 환경에 구현된 솔버의 성능을 다른 접근 방식과 비교하여 검증한다.

제안 방법

• 타원체 $\mathcal{E}(P,c,r)$ 로 정의된 종단 상태 제약 조건을 갖는 선형 MPC 문제를 수립하여 기존의 다면체 불변 집합을 대체한다.
• 결과적으로 유도된 희소하고 구조화된 QCQP를 효율적으로 해결하기 위해 교대 방향 방법의 승수(ADMM)를 적용한다.
• ADMM의 하위문제에서 블록 대각 행렬의 구조를 활용하여 문제의 희소성을 이용해 메모리와 계산을 최소화한다.
• 스푸르-컴플리먼트와 S-절차를 사용하여 타원체 종단 집합을 계산하기 위한 선형 행렬 부등식(LMI) 조건을 유도한다.
• 외부 라이브러리 없이 순수한 내장 데이터 구조만을 사용하여 C 기반 임베디드 환경에서 솔버를 구현한다.
• 변수 분할과 이중 상승 기법을 사용하여 ADMM에서 최적화 문제를 각 예측 단계의 다룰 수 있는 하위문제로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다면체 종단 제약 조건을 타원체 제약 조건으로 대체함으로써 선형 MPC의 제약 조건 수를 크게 줄일 수 있을까? 이로 인해 안정성은 유지되는가?
• RQ2 종단 제약 조건이 다각형이 아닌 이차 형태일 경우, ADMM 기반 솔버가 임베디드 MPC에 적합한가?
• RQ3 희소적이고 저메모리 사용의 ADMM 구현이 외부 라이브러리 없이 다변수 식물에서 실시간 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 솔버의 성능은 계산 시간과 메모리 사용 측면에서 표준 QP 솔버와 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 ADMM 기반 솔버는 20단계의 예측 수평선을 갖는 시뮬레이션된 다변수 식물에서 실시간 성능을 달성한다.
• 타원체 종단 제약 조건은 상태 및 입력 제약 조건이 많은 시스템에서 다면체 집합 대비 제약 조건 수를 줄이는 데 효과적이다.
• 솔버는 최소한의 메모리만을 요구하며 외부 라이브러리 없이 작동하여 임베디드 배포에 적합하다.
• 다양한 테스트 케이스에서 일관된 수렴성과 안정성을 보이며, 실시간 제어에 적합한 계산 시간을 확보한다.
• LMI 기반의 타원체 불변 집합 계산 절차는 평균 크기의 시스템에 대해 효과적이고 확장 가능하다.