[논문 리뷰] A strange relationship between 2d CFT and 4d gauge theory

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 29.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 conformal field theory(CFT)에서의 coherent state의 노름과 4차원 $ abla=2$ 초대칭 gauge 이론에서의 instanton 분할 함수 사이에 정확한 대응 관계를 수립한다. 국소화 기법과 string/M-theory dualities를 사용하여 특정 매개변수 매핑 하에서 두 양이 정확히 일치하는 것을 보이며, 이는 단순하지만 비비례하지 않는 설정에서 AGT 대응관계의 구체적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

A relationship between 4d gauge theory and 2d CFT will be reviewed from the very basics. We will first cover the introductory material on the 2d CFT and on the instantons of 4d gauge theory. Next we will explicitly calculate and check the agreement of the norm of a coherent state on the 2d side and the instanton partition function on the 4d side. We will then see how this agreement can be understood from the perspective of string and M theory.

연구 동기 및 목표

• 2D CFT의 coherent state의 노름과 4D $ ababla=2$ gauge 이론의 instanton 분할 함수 사이에 구체적인 대응관계를 수립하기 위해.
• 2D CFT의 coherent state의 노름과 4D instanton 분할 함수 사이의 일치를 고전적 전개 수준에서 계산하고 검증하기 위해.
• 관측된 대응관계를 string 및 M-theory의 프레임워크 내에서, 특히 6차원 $ abla=(2,0)$ 이론을 통해 해석하기 위해.
• 2D CFT와 4D instanton 미적분학에 대한 기초적인 설명을 제공하여 양측 간의 직접 비교를 가능하게 하기 위해.
• 서로 다른 물리적 양이 일치하는 수학적 근본 원인을 기하학적 및 대수적 기법을 통해 명확히 하기 위해.

제안 방법

• Virasoro 대수를 사용하여 $ abla$ (L0 고유값)와 $ abla$ (coherent state 매개변수)로 매개변수화된 2D CFT에서의 coherent state를 구성하기 위해.
• Fock 공간의 연산자 곱 전개와 내적 구조를 사용하여, $ abla^4$ 차수까지의 coherent state의 노름을 계산하기 위해.
• 국소화 기법을 사용하여 4D instanton 분할 함수를 계산하고, instanton 수 $q$의 멱수 전개로 전개하기 위해.
• 2D CFT의 매개변수($\nabla$, $\nabla$, $c$)와 4D gauge 이론의 매개변수($\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $a$) 사이의 관계를 통해 매핑하기 위해: $\nabla = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2}\left(\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{4}-a^2\right)$, $\nabla^2 = \frac{q}{(\epsilon_1\epsilon_2)^2}$, $c = 1 + 6\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{\epsilon_1\epsilon_2}$.
• CFT의 노름과 instanton 분할 함수의 명시적 급수 전개를 수행하여 각 차수별 계수를 순서대로 비교하기 위해.
• 매칭 결과를 6차원 $ abla=(2,0)$ 이론을 리만 곡면에 compactification한 것에서 기인하는 것으로 해석하며, 4D 이론은 M-theory를 원형으로 compactification한 결과로 나타남.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D CFT의 coherent state의 노름을 명시적으로 계산하고, 이를 4D gauge 이론의 관측 가능량과 어떻게 매칭시킬 수 있는가?
• RQ2 2D CFT의 coherent state 노름과 4D instanton 분할 함수를 동일시하는 정확한 매개변수 매핑은 무엇인가?
• RQ3 관측된 두 양의 일치는 M-theory와 같은 고차원 이론에서 어떻게 기인하는가?
• RQ4 Virasoro 대수와 그 Fock 공간의 구조는 대응관계를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 매칭은 string theory의 compactification과 duality의 결과로 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 2D CFT의 coherent state $\langle\nabla,\nabla|\nabla,\nabla\rangle$의 노름은 $\nabla^4$ 차수까지 다음과 같이 계산된다: $1 + \frac{\nabla^2}{2\nabla} + \frac{\nabla^4(c+8\nabla)}{4\nabla((1+\nabla)c-10\nabla+16\nabla^2)} + \cdots$.
• 4D instanton 분할 함수 $Z^{\text{instanton}}_{\epsilon_1,\epsilon_2,a}$는 $q^2$ 차수까지 다음과 같이 계산된다: $1 + \frac{q}{\epsilon_1\epsilon_2}\frac{2}{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2} + \frac{q^2}{\epsilon_1^2\epsilon_2^2}\frac{8(\epsilon_1+\epsilon_2)^2+\epsilon_1\epsilon_2-8a^2}{((\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2)((2\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2)((\epsilon_1+2\epsilon_2)^2-4a^2)} + \cdots$.
• 매개변수 매핑 $\nabla^2 = \frac{q}{(\epsilon_1\epsilon_2)^2}$, $\nabla = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2}\left(\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{4}-a^2\right)$, $c = 1 + 6\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{\epsilon_1\epsilon_2}$ 하에서 두 급수는 차수별로 정확히 일치한다.
• 이 일치는 6차원 $ abla=(2,0)$ 이론을 리만 곡면에 compactification한 결과로 기인하며, 4D 이론은 M-theory를 원형으로 compactification한 결과로 나타남.
• 이 매칭은 기본적으로 $ abla=2$ 초대칭 Yang-Mills 이론에 기본 물질이 없을 경우 AGT 대응관계의 구체적 실현이다.
• 계산은 4D gauge 이론의 instanton 분할 함수가 2D CFT의 coherent state의 노름을 계산함을 확인하며, AGT 대응관계의 비추상적 검증을 제공한다.