[논문 리뷰] Asymptotically free N=2 theories and irregular conformal blocks

Davide Gaiotto|ArXiv.org|2009. 08. 03.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 10인용 수 143

한 줄 요약

이 논문은 이차 미분형식 $\phi_2(z)$에 고차 극을 가진 불규칙한 초등 블록을 도입함으로써, 점점 자유해지는 $\sigma=2$ 게이지 이론의 인스탄톤 분할 함수와 2차원 양자역학장이론(CFT)의 순수 블록 사이의 대응관계를 수립한다. 저자들은 $L_1$의 고유벡터이자 $L_2$에 의해 소멸되는, $n > 2$일 때 $L_n|\cdots\rangle = 0$인 특이한 바일로-보상 상태를 정의하여, $SU(2)$ 이론에서 $N_f = 0,1,2,3$의 경우 정확한 일치를 이루며, $N_f=2$의 경우 일致하는 잡음 인자(스푸르리어스 팩터)를 포함하여, 불규칙한 구멍을 통한 AGT 대응관계를 점점 자유해지는 이론으로 확장한다.

ABSTRACT

A surprising connection between N=2 gauge theory instanton partition functions and conformal blocks has been recently proposed. We illustrate through simple examples the generalization to asymptotically free N=2 gauge theories

연구 동기 및 목표

• 초등장이론의 AGT 대응관계를 초등장이 아닌 점점 자유해지는 $\sigma=2$ 게이지 이론으로 확장하기 위해, 그들의 인스탄톤 분할 함수를 순수 블록과 대응시키는 것.
• 6차원 $(2,0)$ 이론에서의 불규칙한 구멍에 해당하는 $z^{-3}, z^{-4}$ 차수의 극을 가진 이차 미분형식 $\phi_2(z)$와 관련된 새로운 유형의 바일로-보상 상태—불규칙 상태—를 정의하는 것.
• 이러한 불규칙한 초등 블록이 $SU(2)$ 게이지 이론에서 $N_f = 0,1,2,3$의 경우 인스탄톤 분할 함수를 정확히 재현함을 보여주며, $q$-의존성과 잡음 인자를 모두 포함하는 것.
• 바일로-보상 대수의 제약 조건을 통해 이러한 상태를 계층적으로 재귀적으로 구성하는 체계적인 방법을 제공하여, 각 수준에서 일致성을 확보하는 것.

제안 방법

• 인스탄톤 분할 함수의 $z^{-3}$ 극을 모델링하기 위해, $L_1$의 고유벡터이자 $L_2$에 의해 소멸되는, $n > 2$일 때 $L_n|\cdots\rangle = 0$인 바일로-보상 모듈의 특이 상태 $|\Delta, \Lambda^2\rangle$를 정의한다.
• 고차 불규칙 상태를 $z^{-4}$ 극에 대해 구성하기 위해 $n > 3$일 때 $L_n|\cdots\rangle = 0$이 되도록 하고, 바일로-보상 대수를 사용하여 각 수준에서 후속 상태를 재귀적으로 해결한다.
• 내적 $\langle \Delta, \Lambda^2 | \Delta, \Lambda^2 \rangle = \sum \Lambda^{4n} |v_n|^2$을 사용하여, 인스탄톤 분할 함수와 순서별로 일치하는 초등 블록을 계산한다.
• 인스탄톤 수세기 매개변수 $q$를 $N_f=0$의 경우 $\Lambda^4$, $N_f=2$의 두 번째 실현에서 $\Lambda^2$, $N_f=3$의 경우 $-2\Lambda$로 식별하여 기존 결과와 일致한다.
• 스푸르리어스 인자를 처리하기 위해 $N_f=4$ 결과의 점근적 극한을 활용하며, $N_f < 2$일 경우는 소멸하지만 $N_f=2$의 경우 질량 스케일링으로 인해 유한하게 유지됨을 보여준다.
• 6차원 $(2,0)$ 초등장이론의 압축화와 코드미니멀리티 두 개의 결함을 통해 게이지 이론을 실현하며, 불규칙한 구멍은 UV 극한에서 정규 구멍이 융합됨으로써 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불규칙한 초등 블록을 사용하여 AGT 대응관계를 점점 자유해지는 $\sigma=2$ 게이지 이론으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 바일로-보상 상태는 어떻게 정의되어야 하며, $\phi_2(z)$의 3차 및 4차 극의 특이 행동을 재현할 수 있는가?
• RQ3 $N_f=2$ 이론에서 인스탄톤 분할 함수와의 대응에서 스푸르리어스 인자의 역할은 무엇인가?
• RQ4 불규칙 상태에 대한 재귀 방정식은 수준 8까지의 명시적 계산에 따라 모든 수준에서 유일한 형식 해를 가지는가?
• RQ5 $\sqrt{\phi_2(z)}$의 불규칙한 구멍에서의 경계 조건은 로렌트 급수의 고정 계수로 일致적으로 서술될 수 있는가?

주요 결과

• 특이 상태 $|\Delta, \Lambda^2\rangle$로부터 계산된 내적 $\langle \Delta, \Lambda^2 | \Delta, \Lambda^2 \rangle$는 $N_f=0$의 경우 $q = \Lambda^4$로 $SU(2)$ 이론의 인스탄톤 분할 함수와 순서별로 일치하며, 수준 8까지 확인되었다.
• 일반적으로 $N_f=1$의 경우, $z^{-3}$과 $z^{-4}$ 극을 가진 초등 블록은 $L_1|\psi\rangle = \Lambda^2|\psi\rangle$ 및 $L_2|\psi\rangle = 0$로 상태를 식별함으로써 $q = \Lambda^4$로 정확한 인스탄톤 분할 함수를 재현한다.
• $N_f=2$의 경우 두 개의 $z^{-4}$ 극을 가진 초등 블록은 $q = 4\Lambda^2$로 인스탄톤 분할 함수와 일치하며, 추측되는 스푸르리어스 인자 $\exp(2\Lambda^2)$를 제외하고는 정확하다.
• 두 번째 실현에서 $N_f=2$의 경우, 한 개의 불규칙 상태와 두 개의 정규 상태를 가진 삼중 함수는 $q = \Lambda^2$로 인스탄톤 분할 함수를 정확히 재현하며, 스푸르리어스 인자가 없다.
• $N_f=3$의 경우, 하나의 $z^{-4}$ 극과 두 개의 정규 구멍을 가진 삼중 함수는 $q = -2\Lambda$로 인스탄톤 분할 함수를 재현하며, 스푸르리어스 인자 $\exp(1/b + b - 2m_1)$가 존재한다. 이는 $N_f=4$의 점근적 극한과 일치한다.
• 저자들은 불규칙 상태가 $L_n|\psi\rangle = 0$ ($n > N$)를 만족하는 형식적 멱급수로 존재하며, $L_1, \dots, L_{N-1}$이 상수 곱으로 작용하는 것으로 추측한다. 이러한 상태는 각 수준에서 유일하다.