[논문 리뷰] A strong direct product theorem in terms of the smooth rectangle bound

Rahul Jain, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 42인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 두 방향 공개 코인 통신 복잡도에서 부드러운 직사각형 상한을 하한 방법으로 사용하여 강력한 직접 곱 정리(strong direct product theorem)를 확립한다. 어떤 관계의 $k$개 인스턴스를 풀기 위해서는 한 인스턴스를 풀기 위해 필요한 자원의 $℩(k)$ 배가 필요하며, 성공 확률이 $k$에 대해 지수적으로 감소하지 않는 한, 이는 기존의 Set-Disjointness, Inner Product, Gap-Hamming Distance와 같은 함수들에 대한 알려진 결과들을 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

A strong direct product theorem states that, in order to solve k instances of a problem, if we provide less than k times the resource required to compute one instance, then the probability of overall success is exponentially small in k. In this paper, we consider the model of two-way public-coin communication complexity and show a strong direct product theorem for all relations in terms of the smooth rectangle bound, introduced by Jain and Klauck as a generic lower bound method in this model. Our result therefore uniformly implies a strong direct product theorem for all relations for which an (asymptotically) optimal lower bound can be provided using the smooth rectangle bound, for example Inner Product, Greater-Than, Set-Disjointness, Gap-Hamming Distance etc. Our result also implies near optimal direct product results for several important functions and relations used to show exponential separations between classical and quantum communication complexity, for which near optimal lower bounds are provided using the rectangle bound, for example by Raz [1999], Gavinsky [2008] and Klartag and Regev [2011]. In fact we are not aware of any relation for which it is known that the smooth rectangle bound does not provide an optimal lower bound. This lower bound subsumes many of the other lower bound methods, for example the rectangle bound (a.k.a the corruption bound), the smooth discrepancy bound (a.k.a the γ_2 bound) which in turn subsumes the discrepancy bound, the subdistribution bound and the conditional min-entropy bound. We show our result using information theoretic arguments. A key tool we use is a sampling protocol due to Braverman [2012], in fact a modification of it used by Kerenidis, Laplante, Lerays, Roland and Xiao [2012].

연구 동기 및 목표

• 두 방향 공개 코인 통신 복잡도에서 모든 관계에 대해 강력한 직접 곱 정리가 성립하는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 광범용 하한 방법으로 널리 적용 가능한 부드러운 직사각형 상한을 기반으로 일반적인 결과를 수립하기 위해.
• Set-Disjointness와 Inner Product와 같은 특정 함수들에 대해 기존의 강력한 직접 곱 결과들을 통합하고 재증명하기 위해.
• Gap-Hamming Distance와 같은 새로운 함수들, 그리고 양자-고전적 분리에 사용되는 관계들로 결과를 확장하기 위해.
• 더 강력한 하한 하한 방법을 사용하여 유사한 직접 곱 결과를 도출할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 자원을 $k$개의 병렬 인스턴스를 동시에 풀기 위한 프로토콜의 성공 확률을 분석하기 위해 정보이론적 추론을 사용한다.
• Braverman와 Kerenidis 등이 제안한 수정된 샘플링 프로토콜을 활용하여 다중 인스턴스 환경에서의 오차를 시뮬레이션하고 하한을 설정한다.
• 부드러운 직사각형 상한을 일반적인 하한 방법으로 활용하며, 이는 직사각형(손상) 상한과 기타 알려진 하한들을 일반화한다.
• 상호정보량과 발산에 대한 특정 조건 하에서 조건부 분포와 오차 하한을 다루는 핵심 보조정리를 활용한다.
• 모든 다른 당사자의 입력과 메시지의 병합된 시각인 $R_j$를 재귀적 구조로 정의하여 프로토콜의 행동을 분석한다.
• 자원이 $k$에 대해 선형이 아닌 경우 오차가 $\varepsilon$를 초과해야 한다는 모순을 유도하기 위해 신중하게 선택된 매개변수 설정을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 방향 공개 코인 통신 복잡도에서 모든 관계에 대해 강력한 직접 곱 정리가 성립하는가?
• RQ2 부드러운 직사각형 상한이 이 모델의 모든 관계에 대해 渐近적으로 타당한가?
• RQ3 부드러운 직사각형 상한을 사용하여 새로운 또는 기존의 함수들에 대해 최적의 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 Partition 상한이나 정보 복잡도와 같은 더 강력한 하한 방법을 사용하여 유사한 직접 곱 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 부드러운 직사각형 상한이 진정한 통신 복잡도를 포착하지 못하는 관계는 존재하는가?

주요 결과

• 두 방향 공개 코인 통신 복잡도에서 모든 관계에 대해 부드러운 직사각형 상한을 매개변수로 삼을 경우 강력한 직접 곱 정리가 성립한다.
• 한 인스턴스를 풀기 위해 필요한 자원의 $k$ 배 이하로 $k$개의 인스턴스를 풀 경우 성공 확률은 $k$에 대해 지수적으로 감소한다.
• Inner Product와 Set-Disjointness에 대해 기존의 강력한 직접 곱 정리 결과를 재증명하여, 부드러운 직사각형 프레임워크 하에서 그 결과의 강건성을 확인한다.
• Gap-Hamming Distance에 대해 새로운 강력한 직접 곱 결과를 확립하여, 기존의 하한 결과를 직접 곱 영역으로 확장한다.
• 이 방법은 Raz, Gavinsky, Klartag-Regev 등이 제시한 지수적 양자-고전적 분리에 사용되는 관계들에 대해 거의 최적의 직접 곱 결과를 암시한다.
• 정보이론적 부등식과 샘플링을 기반으로 한 증명 기법은 부드러운 직사각형 상한 하한을 갖는 모든 관계에 일반적으로 적용 가능한 템플릿을 제공한다.