[논문 리뷰] A structure-preserving algorithm for the fractional nonlinear Schrödinger equation based on the SAV approach

Yayun Fu, Wenjun Cai외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 18.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 공간 분수형 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 스칼라 보조변수(SAV) 접근법을 사용하고 공간에서 푸리에 의사스펙트럼 방법, 시간에서 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 조합하여 선형 암시적이고 에너지를 보존하는 방법을 제안한다. 이 방법은 각 시간 단계에서 상호작용하지 않는, 계수가 일정한 선형 방정식만을 풀어, 기존의 완전 암시적 방법에 비해 계산 효율성이 크게 향상되면서도 이산적으로 정확한 에너지 보존을 달성한다.

ABSTRACT

The main objective of this paper is to present an efficient structure-preserving scheme, which is based on the idea of the scalar auxiliary variable approach, for solving the space fractional nonlinear Schrödinger equation. First, we reformulate the equation as a Hamiltonian system, and obtain a new equivalent system via introducing a scalar variable. Then, we construct a semi-discrete energy-preserving scheme by using the Fourier pseudo-spectral method to discretize the equivalent system in space direction. After that, applying the Crank-Nicolson method on the temporal direction gives a linear implicit scheme in the fully-discrete version. As expected, the proposed scheme can preserve the energy exactly and more efficient in the sense that only decoupled equations with constant coefficients need to be solved at each time step. Finally, numerical experiments are provided to demonstrate the effectiveness and conservation of the scheme.

연구 동기 및 목표

• 공간 분수형 비선형 슈뢰딩거 방정식을 위한 구조보존 수치 스킴을 개발하여 에너지를 정확히 보존한다.
• 기존의 완전 암시적 방법의 높은 계산 비용 문제를 해결하기 위해 선형 암시적 방법을 구축한다.
• 스칼라 보조변수(SAV) 접근법을 이전에 적용된 바가 없던 분수형 미분방정식에 확장한다.
• SAV 방법을 푸리에 의사스펙트럼 방법과 조합하여 고정밀도와 고효율의 공간 해석을 확보한다.
• 광범위한 수치 실험을 통해 스킴의 장기적 안정성과 보존 성질을 입증한다.

제안 방법

• 비선형 항을 분리하기 위해 스칼라 보조변수를 도입하여 분수형 NLS 방정식을 해밀토니안 시스템으로 재구성한다.
• 푸리에 의사스펙트럼 방법을 사용해 공간 이산화를 수행하여 FFT를 통한 고정밀도 및 효율적인 계산을 달성한다.
• 크랭크-니콜슨 방법을 시간에 적용하여 선형 암시적 완전 이산화 스킴을 구성하고, 각 시간 단계에서 비선형 해법을 피한다.
• SAV 접근법을 통해 에너지 함수를 이차형으로 재구성함으로써 구조적으로 정확한 에너지 보존을 보장한다.
• 계수가 일정한 선형 시스템을 유도하여 푸리에 공간에서 대각화를 통해 계산 효율성을 향상시킨다.
• 주기적 경계 조건을 구현하고, 다양한 잠재력과 분수형 차수를 가진 1D 및 2D 문제에서 스킴을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SAV 접근법을 분수형 미분방정식에 성공적으로 확장하여 에너지를 보존하는 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 선형 암시적 스킴이 분수형 NLS 방정식의 이산 에너지를 정확히 보존하는가?
• RQ3 2D 경우에서 분수형 차수 α가 솔리톤 해의 형태와 감쇠 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다양한 공간 및 시간 이산화 조건 하에서 스킴의 수렴 속도와 장기적 보존 성능은 어떠한가?
• RQ5 허모닉 및 옵티컬 랩소티 잠재력과 같은 다양한 잠재력 함수에서 스킴의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 FSAV 스킴은 이산 에너지를 정확히 보존하며, 충분히 미세한 격자에서 상대적 에너지 오차가 1e-13 이하로 유지되어 이론적 에너지 보존을 확인한다.
• 스킴은 공간에서 스펙트럼 수렴을 보이며, 1D 문제에서 N=64일 때 관측된 수렴 차수는 약 10.56이며, N=128일 때는 최대 20.30에 이르며 고정밀도를 나타낸다.
• 시간 수렴 차수는 약 2.0로, 크랭크-니콜슨 방법과 일치하며, τ=0.1에서 τ=0.001로 감소할수록 L2 오차 감소로 확인된다.
• 분수형 차수 α가 감소할수록 파동 함수의 감쇠 속도가 빨라지고, 더 급격한 프로파일을 보이며, α→2로 갈수록 고전적 NLS 경우에 수렴한다.
• 스킴은 질량 보존을 기계 정밀도 수준에서 유지하며, 모든 테스트 설정에서 상대적 질량 오차가 1e-14 이하로 유지된다.
• 스킴은 계산적으로 효율적이며, 각 시간 단계에서 상호작용하지 않는 계수가 일정한 선형 시스템만을 풀어 반복적인 비선형 해법을 피한다.