[논문 리뷰] A Structured Systems Approach for Optimal Actuator-Sensor Placement in Linear Time-Invariant Systems

Sérgio Pequito, Soummya Kar외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 25.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 12인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 선형 시간 불변 시스템에서 최적의 액추에이터 및 센서 배치를 위한 다항식 시간 알고리즘을 제안한다. 구조 시스템 이론을 사용하여 구조적 제어 가능성/관측 가능성 확보를 위한 최소 수의 전용 입력(또는 출력)을 결정하고, 그래프 이론적 방법(최대 매칭 및 방향 그래프 내 강하게 연결된 성분 분석 포함)을 통해 모든 최소 가능 구성 구조를 특성화한다.

ABSTRACT

In this paper we address the actuator/sensor allocation problem for linear time invariant (LTI) systems. Given the structure of an autonomous linear dynamical system, the goal is to design the structure of the input matrix (commonly denoted by $B$) such that the system is structurally controllable with the restriction that each input be dedicated, i.e., it can only control directly a single state variable. We provide a methodology that addresses this design question: specifically, we determine the minimum number of dedicated inputs required to ensure such structural controllability, and characterize, and characterizes all (when not unique) possible configurations of the \emph{minimal} input matrix $B$. Furthermore, we show that the proposed solution methodology incurs \emph{polynomial complexity} in the number of state variables. By duality, the solution methodology may be readily extended to the structural design of the corresponding minimal output matrix (commonly denoted by $C$) that ensures structural observability.

연구 동기 및 목표

• 선형 시간 불변 시스템에서 구조적 제어 가능성을 보장하기 위해 필요한 전용 입력의 최소 수를 결정하기 위해.
• 전용 입력 제약 조건 하에서 구조적 제어 가능성을 달성하는 모든 최소 가능 구성의 입력 행렬 B를 특성화하기 위해.
• 다양한 스케일의 시스템(예: 다중 에이전트 네트워크 및 전력망 포함)에 적용 가능한 확장 가능한 다항식 복잡도 알고리즘을 제공하기 위해.
• 이중성 원리를 통해 구조적 관측 가능성에 대한 최소 출력(센서) 배치 문제로의 확장을 위해.

제안 방법

• 시스템의 동역학을 상태 행렬 A와 입력 행렬 B의 흐리게 된 패턴을 나타내는 방향 그래프(digraph)로 모델링한다.
• 시스템의 상태 및 입력 구조에서 유도된 이분 그래프에 최대 매칭 알고리즘을 적용하여 오른쪽으로 매칭되지 않은 정점과 자연적인 제약 분할을 식별한다.
• 시스템 방향 그래프의 강하게 연결된 성분(SCC)을 계산하고, 상단 연결 여부에 따라 분류하여 구조적 제약 조건을 규명한다.
• 두 하위루틴을 사용한다: STRATEGY A는 특정 정점들이 오른쪽으로 매칭되지 않도록 하는 최대 매칭을 찾고, STRATEGY B는 매칭에 특정 간선이 포함되도록 강제한다.
• 오른쪽으로 매칭되지 않은 정점들을 비상단 연결 SCC들에 가능한 할당을 평가하기 위해 정점 인덱스와 SCC 인덱스 사이의 이분 그래프를 이용해 최대 할당 가능 지수를 구성한다.
• 반복적으로 최소 가능 입력 구성 구조를 구축한다. 먼저 비상단 연결 SCC들로부터 상태를 선택하고, 나머지 오른쪽으로 매칭되지 않은 정점들로부터 선택하여 입력 수를 최소화하고 구조적 제어 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 시간 불변 시스템에서 구조적 제어 가능성을 보장하기 위해 필요한 전용 입력의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 전용 입력 제약 조건 하에서 최소 제어 가능성을 달성하기 위해 어떤 특정 상태 변수들을 제어해야 하는가?
• RQ3 모든 최소 가능 입력 구성 구조를 체계적으로 특성화하고 생성할 수 있는가?
• RQ4 최적의 입력 배치 문제는 상태 변수의 수에 대해 다항식 시간 내에 해결될 수 있는가?

주요 결과

• 구조적 제어 가능성을 확보하기 위해 필요한 전용 입력의 최소 수는 p = m + β − α로 주어지며, 여기서 m은 최대 매칭에서 오른쪽으로 매칭되지 않은 정점 수, β는 비상단 연결 SCC 수, α는 최대 할당 가능 지수이다.
• 모든 최소 가능 입력 구성 구조는 입력 행렬 B의 열 순열을 제외하고 알고리즘적으로 특성화하고 생성할 수 있다.
• 제안된 알고리즘은 다항식 시간 내에 실행되며, 복잡도는 O(αp|X|√|X||EX,X|)로, 대규모 시스템에 대해 확장 가능하다.
• 이 방법은 구조적 관측 가능성에 대한 최소 출력(센서) 배치 문제에 대해 이중적으로 적용 가능하다.
• 최대 할당 가능 지수 α는 오른쪽으로 매칭되지 않은 정점들과 비상단 연결 SCC들 사이의 이분 매칭을 통해 계산되며, 이는 최상단 연결 가능성 최대화를 위한 입력의 최적 할당을 가능하게 한다.
• 알고리즘 프레임워크는 다중 에이전트 시스템, 전력망, 생물학적 네트워크 등에서 최소 제어/추정 아키텍처의 시스템적 설계를 가능하게 한다.