[논문 리뷰] A superconvergent HDG method for the Incompressible Navier-Stokes Equations on general polyhedral meshes

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 24.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 다면체 메esh에서 정 steady 비압축성 스토크스 방정식에 대해 초수렴성(superconvergent)인 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 제시한다. 속도에 대해 $k+1$차 다항식, 속도 기울기와 압력에 대해 $k$차 다항식, 수치적 추적값에 대해 $k$차 다항식을 사용할 때, 소규모 데이터 조건 하에 $k \geq 1$일 경우 모든 변수에 대해 최적의 $L^2$ 수렴 차수 $k+1$를 달성하고, 속도에 대해 $L^2$-노름에서 $k+2$차수의 초수렴성을 보이며, 후처리 없이도 달성한다.

ABSTRACT

We present a superconvergent hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the steady-state incompressible Navier-Stokes equations on general polyhedral meshes. For arbitrary conforming polyhedral mesh, we use polynomials of degree k+1, k, k to approximate the velocity, velocity gradient and pressure, respectively. In contrast, we only use polynomials of degree k to approximate the numerical trace of the velocity on the interfaces. Since the numerical trace of the velocity field is the only globally coupled unknown, this scheme allows a very efficient implementation of the method. For the stationary case, and under the usual smallness condition for the source term, we prove that the method is well defined and that the global L2-norm of the error in each of the above-mentioned variables and the discrete H1-norm of the error in the velocity converge with the order of k+1 for k>=0. We also show that for k>=1, the global L2-norm of the error in velocity converges with the order of k+2. From the point of view of degrees of freedom of the globally coupled unknown: numerical trace, this method achieves optimal convergence for all the above-mentioned variables in L2-norm for k>=0, superconvergence for the velocity in the discrete H1-norm without postprocessing for k>=0, and superconvergence for the velocity in L2-norm without postprocessing for k>=1.

연구 동기 및 목표

• 일반 다면체 메esh에서 비압축성 스토크스 방정식에 대해 고차수이고 효율적인 HDG 방법을 개발하기 위해.
• 후처리 없이도 $L^2$ 및 이산 $H^1$ 노름에서 속도에 대해 초수렴성을 달성하기 위해.
• 모든 변수—속도, 속도 기울기, 압력, 수치적 추적값—에 대해 최소한의 정규성 가정 하에 최적 수렴 속도를 확보하기 위해.
• HDG 방법의 적용 범위를 비볼록 다면체 요소를 포함한 일반적인 다면체 요소로 확장하면서도 고차 정확도를 유지하기 위해.

제안 방법

• 요소의 표면에서 속도에 대해 $k+1$차 다항식, 속도 기울기와 압력에 대해 $k$차 다항식, 수치적 추적값에 대해 $k$차 다항식을 사용한다.
• 안정성과 수렴 성질을 향상시키기 위해 수정된 수치적 플럭스를 도입한다.
• 속도와 수치적 추적값을 사용하여 국소적인 요소별 해법을 통해 속도 기울기를 재구성한다.
• 모든 미지수들이 메쉬의 뼈대(skeleton)에서 수치적 추적을 통해만 상호 연결되는 하이브리드화된 약한 형태로 방법을 구성한다.
• 수치적 추적값을 유일한 전역적으로 연결된 변수로 설정함으로써 전역 결합을 최소화하여 효율적인 해법 절차를 가능하게 한다.
• 주어진 다항식 근사 조건 하에서 문제의 잘 정의됨과 수렴성을 보장하기 위해 소규모 데이터 조건을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 다면체 메esh에서 비압축성 스토크스 방정식에 대해 초수렴성 HDG 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 다른 변수들에 대해 $k$차를 사용하면서 속도 근사 공간을 $k+1$차로 강화하면 최적 및 초수렴 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 후처리 없이 $k \geq 1$일 경우 속도에 대해 $L^2$-노름에서 초수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 일반 다면체 메esh에서 소스 항에 대한 소규모 조건 하에 방법이 잘 정의되고 수렴하는가?

주요 결과

• 모든 $k \geq 0$에 대해 속도, 속도 기울기, 압력, 수치적 추적값에 대해 최적의 $L^2$-노름 수렴 차수 $k+1$를 달성한다.
• $k \geq 1$일 경우, 속도의 $L^2$-노름 오차는 차수 $k+2$로 수렴하여, 후처리 없이도 초수렴성을 보여준다.
• $k \geq 0$일 경우 이산 $H^1$-노름 오차는 속도에 대해 차수 $k+1$로 수렴하며, 후처리 없이도 초수렴성을 나타낸다.
• 임의의 적합한 다면체 메쉬에서 소스 항에 대한 표준 소규모 조건 하에 방법은 잘 정의되고 수렴한다.
• 분석은 형태 정규성(정규성)이 보장되며, 비볼록 다면체 요소까지 포함된 일반 메쉬에 대해 유효하여, HDG 방법의 적용 범위를 확장한다.