[논문 리뷰] A theory for the zeros of Riemann Zeta and other L-functions

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 17.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수의 비자명한 영과 다른 L-함수의 영을 직접 코시누스 함수의 영과 연결하는 새로운 초월 방정식을 제안한다. 이는 임계선 상에서 일대일 대응을 수립하며, 각 n에 대해 방정식이 유일한 해를 가진다면 리만 가설이 성립한다. 이는 임계선 상의 영의 수가 총 개수 N(T)과 일치하기 때문이다.

ABSTRACT

In these lectures we first review all of the important properties of the Riemann $\zeta$-function, necessary to understand the importance and nature of the Riemann hypothesis. In particular this first part describes the analytic continuation, the functional equation, trivial zeros, the Euler product formula, Riemann's main result relating the zeros on the critical strip to the distribution of primes, the exact counting formula for the number of zeros on the strip $N(T)$ and the GUE statistics of the zeros on the critical line. We then turn to presenting some new results obtained in the past year and describe several strategies towards proving the RH. First we describe an electro-static analogy and argue that if the electric potential along the line $\Re (z) =1$ is a regular alternating function, the RH would follow. The main new result is that the zeros on the critical line are in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and this leads to a transcendental equation for the $n$-th zero on the critical line that depends only on $n$. If there is a unique solution to this equation for every $n$, then if $N_0 (T)$ is the number of zeros on the critical line, then $N_0(T) = N(T)$, i.e. all zeros are on the critical line. These results are generalized to two infinite classes of functions, Dirichlet $L$-functions and $L$-functions based on modular forms. We present extensive numerical analysis of the solutions of these equations. We apply these methods to the Davenport-Heilbronn $L$-function, which is known to have zeros off of the line, and explain why the RH fails in this case. We also present a new approximation to the $\zeta$-function that is analogous to the Stirling approximation to the $\Gamma$-function.

연구 동기 및 목표

• 리만 제타 함수의 비자명한 영과 코시누스 함수의 영 사이에 임계선 상에서 일대일 대응을 수립하기.
• n번째 영에 대한 초월 방정식을 유도하여, 이는 오직 n에만 의존하며, 리만 가설의 잠재적 증명을 가능하게 하기.
• 이러한 대응을 딜리클레 L-함수와 모듈라 형식 기반 L-함수로 일반화하기.
• 임계선 외부의 영을 갖는 Davenport-Heilbronn L-함수에 이 방법을 적용하여, 리만 가설이 그 경우에 실패하는 이유를 이해하기.
• 감마 함수의 스타링어 근사와 유사한 제타 함수의 새로운 근사법 개발하기.

제안 방법

• Re(s) = 1 상의 전위가 규칙적인 교대 함수임을 가정하면 리만 가설이 성립한다는 전자기적 유사성 사용.
• 코시누스 함수의 영과의 대응에 기반하여, 임계선 상의 n번째 비자명한 영에 대한 초월 방정식을 유도하며, 이는 오직 n에만 의존한다.
• 이 방법을 딜리클레 L-함수와 모듈라 형식 기반 L-함수에 적용하여, 더 넓은 L-함수의 클래스로의 대응 확장하기.
• 다양한 L-함수에 대해 초월 방정식의 해가 존재하고 유일한지 확인하기 위한 광범위한 수치적 분석 수행.
• 감마 함수의 스타링어 근사와 유사한 형태의 제타 함수에 대한 새로운 점근적 근사법 구축하기.
• Davenport-Heilbronn L-함수를 분석하여 유일성 조건이 실패하는 이유를 밝혀, 임계선 외부의 영 존재와의 관계를 설명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 n에 대해 유도된 초월 방정식의 유일한 해가 존재할 경우, 제타 함수의 모든 비자명한 영이 임계선 상에 존재함을 의미하는가?
• RQ2 제타 함수의 영과 코시누스 함수의 영 사이의 일대일 대응은 딜리클레 L-함수와 모듈라 형식 기반 L-함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 Davenport-Heilbronn L-함수에 대해 이 방법이 실패하는 이유는 무엇이며, 이는 그 기존의 임계선 외부의 영 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 제타 함수에 대한 새로운 근사법의 구조는 어떠한가? 그리고 감마 함수의 스타링어 근사와 비교해보면 어떠한가?
• RQ5 제로의 통계적 성질, 예를 들어 GUE 통계와 새로운 초월 표현식 간의 일치는 어떻게 이루어지는가?

주요 결과

• 리만 제타 함수의 임계선 상 비자명한 영은 코시누스 함수의 영과 일대일 대응된다.
• 임계선 상의 n번째 영에 대한 초월 방정식이 도출되었으며, 이는 오직 n에만 의존한다. 각 n에 대해 이 방정식의 유일한 해가 존재하면 리만 가설이 성립한다.
• 이 방법은 두 개의 무한한 L-함수 클래스인 딜리클레 L-함수와 모듈라 형식 기반 L-함수로 성공적으로 일반화된다.
• 수치적 분석을 통해 제타 함수 및 관련 L-함수에 대해 초월 방정식의 해가 존재하고 유일함이 확인되었다.
• Davenport-Heilbronn L-함수는 유일성 조건을 만족하지 못하여, 그 기존의 임계선 외부의 영 존재와 리만 가설의 붕괴를 설명할 수 있다.
• 감마 함수의 스타링어 근사와 유사한 형태의 제타 함수에 대한 새로운 점근적 근사법이 구축되었다.