[논문 리뷰] A Theory of Elementary Higher Toposes

Nima Rasekh|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 원소적 고차 토포스의 새로운 개념을 제안하여 원소적 토포스와 그로텐디크 ∞-토포스를 통합하며, 내림내림성, 국소적 카르테시안 닫힘, 유일화 가능한 사상의 분류와 같은 기본 성질을 확립한다. 주요 기여는 호모토피 수학으로의 토포스 이론 일반화이며, 인도 완비화를 통한 대안적 특성화와 필터 몫을 이용한 비그로텐디크 예시의 구축을 포함한다.

ABSTRACT

We define an elementary $\infty$-topos that simultaneously generalizes an elementary topos and Grothendieck $\infty$-topos. We then prove it satisfies the expected topos theoretic properties, such as descent, local Cartesian closure, locality and classification of univalent morphisms, generalizing results by Lurie and Gepner-Kock. We also define $\infty$-logical functors and show the resulting $\infty$-category is closed under limits and filtered colimits, generalizing the analogous result for elementary toposes and Grothendieck $\infty$-toposes. Moreover, we give an alternative characterization of elementary $\infty$-toposes and their $\infty$-logical functors via their ind-completions. Finally we generalize these results by discussing the case of elementary (n,1)-toposes and give various examples and non-examples.

연구 동기 및 목표

• 원소적 토포스를 고차 범주로 일반화하여 집합론과 유형 이론에 비유되는 호모토피 불변 기초를 마련하는 것.
• 원소적 토포스와 그로텐디크 ∞-토포스를 동시에 일반화하는 원소적 ∞-토포스를 정의하는 것.
• 그러한 ∞-토포스가 내림내림성, 국소적 카르테시안 닫힘, 유일화 가능한 사상의 분류와 같은 핵심 토포스 이론적 성질을 만족함을 증명하는 것.
• ∞-논리 함자들을 통한 극한과 필터링된 합성에 대해 ∞-카테고리의 원소적 ∞-토포스들이 닫혀 있음을 보이는 것.
• 프레임워크를 원소적 (n,1)-토포스로 확장하고 명시적 예와 반례를 제시하며, 비그로텐디크 구성도 포함하는 것.

제안 방법

• 유한한 완비성을 갖는 ∞-카테고리에 하위객체 분류자, 당김에 대한 보편적 닫힘, 완전한 세갈 유니버스를 갖는 것으로 원소적 ∞-토포스를 정의한다.
• 표현 가능한 카르테시안 피브레이션과 인도 완비화 이론을 사용하여 원소적 ∞-토포스와 그 ∞-논리 함자들을 위한 대안적 특성화를 제공한다.
• 곱으로 닫힌 필터를 갖는 유한한 완비성 있는 (n,1)-카테고리의 필터 몫을 구성하여 원소적 (n,1)-토포스의 새로운 예를 생성한다.
• 결과로 얻어진 ∞-카테고리가 유한한 극한과 합성, 하위객체 분류자, 국소적 카르테시안 닫힘, (n−2)-트렁케이티드 유니버스를 몫 함자에 대해 유지함을 증명한다.
• 기존의 카테고리들인 유한 집합, π-유한 공간, 칸 오브젝트 등을 적용하여 그것들이 원소적 ∞-토포스를 이루는지 분석한다.
• 완전한 세갈 공간 이론과 쿼아카테고리 이론을 사용하여 호모토피-일관된 구조를 모델링하고 ∞-카테고리 기초와의 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원소적 토포스와 그로텐디크 ∞-토포스를 동시에 일반화하는 통합된 원소적 ∞-토포스의 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 원소적 ∞-토포스는 내림내림성, 국소적 카르테시안 닫힘, 유일화 가능한 사상의 분류와 같은 핵심 토포스 이론적 성질을 만족하는가?
• RQ3 ∞-논리 함자들을 통한 극한과 필터링된 합성에 대해 원소적 ∞-토포스의 ∞-카테고리가 닫혀 있는가?
• RQ4 유한한 완비성과 곱으로 닫힌 필터를 갖는 (n,1)-카테고리의 필터 몫이 비그로텐디크 원소적 (n,1)-토포스를 유도할 수 있는가?
• RQ5 π-유한 공간이나 칸 오브젝트와 같은 카테고리들이 원소적 ∞-토포스가 되지 못하는 이유는 무엇이며, 어떤 카테고리들이 실패하는가?

주요 결과

• 원소적 ∞-토포스는 내림내림성, 국소적 카르테시안 닫힘, 유일화 가능한 사상의 분류를 만족하며, 루리에와 제프너-코크의 결과를 일반화한다.
• 원소적 ∞-토포스의 ∞-카테고리는 극한과 필터링된 합성에 대해 닫혀 있으며, ∞-논리 함자가 이러한 구조를 유지한다.
• 원소적 ∞-토포스의 인도 완비화를 통한 대안적 특성화가 제공되며, 고전적 토포스 이론의 이중성 일반화를 이루고 있다.
• 곱으로 닫힌 필터를 갖는 유한한 완비성 있는 (n,1)-카테고리의 필터 몫은 비그로텐디크이지만 새로운 원소적 (n+1,1)-토포스를 유도하며, 예를 들어 필터 곱 ∏Φ𝔖≤n가 그 예이다.
• π-유한 공간의 ∞-카테고리는 유한한 극한과 합성에 대한 닫힘 실패로 인해 원소적 ∞-토포스가 아니다.
• 가산 코곱과 유한한 극한을 갖는 카테고리에서 유도된 칸 오브젝트는 하위객체 분류자를 반드시 갖지 않기 때문에 원소적 ∞-토포스가 아니다.