[논문 리뷰] The join construction

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 유형 이론에서 '조인 구성'을 도입하여, 명제적 절단을 가정하지 않고 사상 $f:A\to X$ 의 이미지를 유한한 조인 거듭제곱의 쌍대극한으로 정의한다. 조인 연결성 정리(Join Connectivity Theorem)를 증명하고, 수정된 조인 구성법을 사용하여 집합 몫, 레츠 완비화, $n$-절단을 유니발런트 유니버스에서 그래프 몫에 대해 닫혀 있는 환경에서 구성하며, 이미지에 대한 근사값들이 연결성의 수준을 점차 높임을 보인다.

ABSTRACT

In homotopy type theory we can define the join of maps as a binary operation on maps with a common co-domain. This operation is commutative, associative, and the unique map from the empty type into the common codomain is a neutral element. Moreover, we show that the idempotents of the join of maps are precisely the embeddings, and we prove the `join connectivity theorem', which states that the connectivity of the join of maps equals the join of the connectivities of the individual maps. We define the image of a map $f:A o X$ in $U$ via the join construction, as the colimit of the finite join powers of $f$. The join powers therefore provide approximations of the image inclusion, and the join connectivity theorem implies that the approximating maps into the image increase in connectivity. A modified version of the join construction can be used to show that for any map $f:A o X$ in which $X$ is only assumed to be locally small, the image is a small type. We use the modified join construction to give an alternative construction of set-quotients, the Rezk completion of a precategory, and we define the $n$-truncation for any $n:\mathbb{N}$. Thus we see that each of these are definable operations on a univalent universe for Martin-Löf type theory with a natural numbers object, that is moreover closed under homotopy coequalizers.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 유형 이론에서 명제적 절단을 가정하지 않고 사상 $f:A\to X$ 의 이미지를 구성하기.
• 조인 구성법이 이미지에 대한 점차 연결성이 높아지는 근사값의 열을 만들어 내는지 보여주기.
• 수정된 조인 구성법을 사용하여 국소적으로 작은 유형으로 일반화하기.
• 이 방법을 사용하여 집합 몫, 전카테고리의 레츠 완비화, 유니발런트 유니버스에서 그래프 몫에 대해 닫혀 있는 환경에서의 $n$-절단을 정의하기.

제안 방법

• 공통된 공역을 가진 두 사상의 조인을 이진 연산으로 정의하며, 이는 교환법칙, 결합법칙을 만족하고 빈 사상이 항등원이 된다.
• 사상 $f:A\to X$ 의 이미지를 $f$ 의 유한한 조인 거듭제곱의 쌍대극한으로 구성하여 점차 연결성이 높아지는 근사값의 열을 형성한다.
• 조인 연결성 정리(Join Connectivity Theorem)를 증명하며, 이는 사상들의 조인의 연결성이 각 사상의 연결성의 조인과 일치함을 서술한다.
• 공역 $X$ 가 국소적으로만 작은 경우를 다룰 수 있도록 수정된 조인 구성법을 도입하여 이미지가 여전히 소형 유형임을 보장한다.
• 수정된 구성법을 사용하여 관계의 이미지를 통해 집합 몫을 정의하고, 코어프레젠팅 사상의 이미지를 통해 레츠 완비화를 정의한다.
• 적절한 사상에 대해 조인 구성법을 적용하여 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n$-절단을 구성하며, 이들이 주어진 유형 이론적 환경에서 정의 가능함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피 유형 이론에서 사상의 이미지를 명제적 절단이나 경로 생성자를 가진 고차형 인덕티브 유형을 가정하지 않고 구성할 수 있는가?
• RQ2 사상들의 조인과 연결성 간의 관계는 어떻게 되며, 이를 '조인 연결성 정리'로 형식화할 수 있는가?
• RQ3 공역이 국소적으로만 작은 경우에 조인 구성법을 어떻게 수정하여 이미지가 여전히 소형 유형이 되도록 보장할 수 있는가?
• RQ4 수정된 조인 구성법을 사용하여 집합 몫, 전카테고리의 레츠 완비화, 그리고 그래프 몫에 대해 닫혀 있는 유니발런트 유니버스에서의 $n$-절단을 정의할 수 있는가?
• RQ5 사상 $f:A\to X$ 의 조인 거듭제곱의 열이 점차 연결성이 높아지는 이미지 근사값을 제공하는가?

주요 결과

• 사상들의 조인은 교환법칙, 결합법칙을 만족하고, 빈 유형에서의 유일한 사상이 항등원이 된다.
• 조인 사상의 아이디포텐셜은 정확히 임bedding들이다.
• 조인 연결성 정리가 성립한다: 사상들의 조인의 연결성은 각 사상의 연결성의 조인과 같다.
• 공역 $X$ 가 국소적으로 작은 임의의 사상 $f:A\to X$ 의 이미지는 수정된 조인 구성법을 사용하여 소형 유형으로 구성할 수 있다.
• 사상 $f$ 의 조인 거듭제곱의 열은 점차 연결성이 높아지는 이미지 근사값을 제공한다.
• 집합 몫, 전카테고리의 레츠 완비화, 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n$-절단은 명제적 리사이징이나 재귀적 고차형 인덕티브 유형을 요구하지 않고, 유니발런트 유니버스에서 그래프 몫에 대해 닫혀 있는 환경에서 정의 가능하다.