[논문 리뷰] A Time Hierarchy Theorem for the LOCAL Model

Yi‐Jun Chang, Seth Pettie|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 20.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 지역적 계산 모델(Local model)에서 처음으로 시간 계층 정리(Time hierarchy theorem)를 확립하며, 각 k ∈ ℤ⁺에 대해 복잡도가 Θ(n^{1/k})인 계층적 색칠 문제의 가족을 도입하여 더 많은 시간이 주어질수록 더 엄격히 더 많은 문제를 해결할 수 있음을 증명한다. 또한 복잡도 지도에 격차가 있음을 드러내며, 로그 시간 이하의 랜덤화 알고리즘은 O(T_{LLL}) 시간으로 가속화될 수 있음을 보이고, 이와 동시에, 트리에서의 비로그 시간 내의 결정적 알고리즘은 자동으로 O(log n) 시간으로 랜덤화될 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

The celebrated Time Hierarchy Theorem for Turing machines states, informally, that more problems can be solved given more time. The extent to which a time hierarchy-type theorem holds in the distributed LOCAL model has been open for many years. It is consistent with previous results that all natural problems in the LOCAL model can be classified according to a small constant number of complexities, such as $O(1),O(\log^* n), O(\log n), 2^{O(\sqrt{\log n})}$, etc. In this paper we establish the first time hierarchy theorem for the LOCAL model and prove that several gaps exist in the LOCAL time hierarchy. 1. We define an infinite set of simple coloring problems called Hierarchical $2\frac{1}{2}$-Coloring}. A correctly colored graph can be confirmed by simply checking the neighborhood of each vertex, so this problem fits into the class of locally checkable labeling (LCL) problems. However, the complexity of the $k$-level Hierarchical $2\frac{1}{2}$-Coloring problem is $Θ(n^{1/k})$, for $k\in\mathbb{Z}^+$. The upper and lower bounds hold for both general graphs and trees, and for both randomized and deterministic algorithms. 2. Consider any LCL problem on bounded degree trees. We prove an automatic-speedup theorem that states that any randomized $n^{o(1)}$-time algorithm solving the LCL can be transformed into a deterministic $O(\log n)$-time algorithm. Together with a previous result, this establishes that on trees, there are no natural deterministic complexities in the ranges $ω(\log^* n)$---$o(\log n)$ or $ω(\log n)$---$n^{o(1)}$. 3. We expose a gap in the randomized time hierarchy on general graphs. Any randomized algorithm that solves an LCL problem in sublogarithmic time can be sped up to run in $O(T_{LLL})$ time, which is the complexity of the distributed Lovasz local lemma problem, currently known to be $Ω(\log\log n)$ and $O(\log n)$.

연구 동기 및 목표

• 지역적 모델에서 시간 계층이 존재하는지 여부에 대한 오랫동안 열려 있던 질문을 해결하기 위해.
• 분산 계산에서 LCL 문제에 대한 자연스러운 복잡도 격차를 규명하고 특성화하기 위해.
• 유한 차수 그래프에서 랜덤화 및 결정적 알고리즘에 대한 자동 가속화 정리 수립하기 위해.
• 하향 시간 내에서 랜덤성의 역할과 분산 로바슈 로컬 레미(Lovász Local Lemma, LLL)의 복잡도가 하향 시간 LCL 문제의 복잡도에 미치는 정확한 영향을 탐구하기 위해.

제안 방법

• 시간 복잡도가 k ∈ ℤ⁺에 대해 Θ(n^{1/k})인 LCL 문제의 가족인 계층적 2½-색칠 문제를 도입하며, 이는 국소적으로 검증 가능하고 결정적 및 랜덤화 설정 모두에서 해결 가능하다.
• 자동 가속화 정리 증명: 유한 차수 트리에서 o(1)-시간 랜덤화 알고리즘은 항상 결정적 O(log n)-시간 알고리즘으로 변환 가능하다.
• 분산 LLL 문제를 중심적인 복잡도 기준점으로 분석하여, 하향 시간 내의 임의의 랜덤화 LCL 알고리즘은 O(T_{LLL}) 시간으로 가속화될 수 있음을 보이고, 여기서 T_{LLL} ∈ Ω(log log n) 및 O(log n)이다.
• 나오르와 스톡마이어의 O(1)-시간 지역적 알고리즘 특성화를 재검토하고, 고리, 토러스, 트리와 같은 특정 그래프 가족에 대한 암시적 복잡도 격차를 계산한다.
• 지역 시뮬레이션 및 메시지 전달 기법을 사용하여, 유한한 메시지 크기를 사용함으로써 정점들이 LLL 설정에서 구성과 나쁜 사건을 국소적으로 검증할 수 있음을 보인다.
• 이러한 기법을 적용하여 메시지 크기의 하한을 유도하고, 유한 차수 조건 하에서 무한 메시지 알고리즘도 상수 크기 메시지로 시뮬레이션 가능함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 더 많은 시간이 주어질수록 더 엄격히 더 많은 문제를 해결할 수 있는 시간 계층이 지역적 모델에 존재하는가?
• RQ2 하향 시간 내에서 랜덤화 알고리즘이 체계적으로 가속화될 수 있으며, 이를 달성할 수 있는 최소 시간은 무엇인가?
• RQ3 유한 차수 그래프에서 LCL 문제에 대한 결정적 및 랜덤화 지역적 복잡도 계층에 내재된 복잡도 격차가 존재하는가?
• RQ4 트리에서 o(1)-시간 랜덤화 알고리즘은 어느 정도까지 자동으로 결정적화될 수 있으며, 가능한 가장 날카로운 결정적 시간 상한은 무엇인가?
• RQ5 분산 로바슈 로컬 레미(Lovász Local Lemma, LLL)가 하향 시간 LCL 문제의 복잡도를 결정하는 데 정확히 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 계층적 2½-색칠 문제의 시간 복잡도는 각 k ∈ ℤ⁺에 대해 Θ(n^{1/k})이며, 이는 지역적 모델에서 엄격한 시간 계층을 확립한다.
• 유한 차수 트리에서, LCL 문제에 대한 임의의 o(1)-시간 랜덤화 알고리즘은 항상 결정적 O(log n)-시간 알고리즘으로 변환 가능하며, 이는 ω(log* n)–o(log n) 및 ω(log n)–n^{o(1)} 범위 내의 자연스러운 복잡도 복잡도를 제거한다.
• 하향 시간 내에서 LCL 문제를 해결하는 임의의 랜덤화 알고리즘은 O(T_{LLL}) 시간으로 가속화될 수 있으며, 여기서 T_{LLL}은 분산 LLL 문제의 복잡도로, 현재까지 알려진 바로는 Ω(log log n)과 O(log n) 사이이다.
• n-고리에서는 ω(1)–o(log* n) 복잡도 격차가 존재하며, √n×√n 토러스에서는 ω(1)–o(√log* n) 격차가 존재하고, 유한 차수 트리 및 일반 그래프에서는 ω(1)–o(log log* n) 격차가 존재한다.
• Δ = O(1)일 때, 무한 메시지 크기의 o(log n)-시간 랜덤화 알고리즘은 1비트 메시지만으로 O(log n) 시간 내에 시뮬레이션 가능하며, 이는 유한 차수 조건 하에서 메시지 크기가 복잡도를 증가시키지 않음을 보여준다.
• 이 논문은 지역적 모델에서 가능한 결정적 복잡도 집합이 조밀하지 않으며, 각 k ∈ ℤ⁺에 대해 ω(n^{1/(k+1)})와 o(n^{1/k}) 사이에 격차가 있음을 보여주며, 이는 비자명한 계층이 존재함을 시사한다.