[논문 리뷰] A Universal Fractional Model of Wall-Turbulence

Fangying Song, George Em Karniadakis|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 26.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 4인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 벽에 둘러싸인 난류 흐름에 대해 거리에 따라 변화하는 순서 α(y)를 가진 국소적이지 않은 분수계 도함수를 사용하여 통합된 가변 순서 분수 모델(VFM)을 제안한다. α(y)는 벽에서 1에서 시작하여 중심선 쪽으로 낮아지며, 채널, 파이프, 코우에트 흐름에서 다양한 레이놀즈 수에서 평균 속도 프로파일을 정확하게 예측한다. 이는 비국소적 난류 상호작용과 가변 확산 속도를 포괄함으로써 DNS 및 실험 데이터(프린스턴 슈퍼파이프 결과 포함)와 뛰어난 일치를 보이며, 보편적인 α(y) 함수의 존재를 입증한다.

ABSTRACT

Modeling of wall-bounded turbulent flows is still an open problem in classical physics, with only modest progress made in the last few decades beyond the so-called `log law', which describes only the intermediate region in wall-bounded turbulence, i.e., $30-50 y^+ ext{ to } 0.1-0.2 R^+$ (in wall units) in a pipe of radius $R$. Here we propose a fundamentally new approach based on fractional calculus to model the {\em entire} mean velocity profile from the wall to the centerline of the pipe. Specifically, we represent the Reynolds stresses with a non-local fractional derivative of {\em variable order} that decays with the distance from the wall. Surprisingly, we find that this variable fractional order has a universal form for all Reynolds numbers and for three different flow types, i.e., channel flow, Couette flow, and pipe flow. We first use existing data bases from direct numerical simulations (DNS) to learn the variable fractional order function, and subsequently we test it against other DNS data and experimental measurements, including the Princeton superpipe experiments. Taken together, our findings reveal the continuous and decaying change of rate of turbulent diffusion from the wall as well as the strong non-locality of turbulent interactions that intensify away from the wall.

연구 동기 및 목표

• 기존의 로그 법칙을 초월하여 벽에 둘러싸인 난류에서 전체 평균 속도 프로파일을 모델링하는 오랫동안 해결되지 않은 과제를 해결하기 위해.
• 국소적 난류 모델의 한계를 극복하기 위해 가변 순서 분수 미분법을 통해 비국소성을 도입하기 위해.
• 채널, 파이프, 코우에트 흐름에 대해 레이놀즈 수에 영향을 받지 않는 통합 모델을 분수 도함수를 사용하여 개발하기 위해.
• DNS 및 실험 측정치(예: 프린스턴 슈퍼파이프 포함)와의 비교를 통해 모델을 검증하기 위해.
• 분수 순서 α(y)를 통해 난류 확산의 가변성과 비국소적 상호작용의 물리적 기원을 규명하기 위해.

제안 방법

• Dᵧ^{α(y)}가 카푸토 분수 도함수인 형태의 가변 순서 분수 미분 방정식(VFM)을 ν₀∂²U/∂y² + ν(y)Dᵧ^{α(y)}U = f로 설정한다.
• 난류 확산계수 ν(y)를 ν(y) = fΓ(2−α(y))Reₜ⁻^{α(y)}V/uₜ로 정의하여 α(y)와 직접 연결한다.
• 다양한 레이놀즈 수와 흐름 유형에서 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터로부터 가변 분수 순서 α(y)를 학습한다.
• 최적화를 통해 α(y)를 DNS 데이터에 맞추고, 이후 미리 보지 않은 DNS 및 실험 데이터에 대해 모델을 검증한다.
• 벽 단위와 외부 단위를 사용하여 채널, 파이프, 코우에트 흐름에 모델을 적용하여 통합 스케일링을 구현한다.
• α(y)의 조각별 선형 근사화를 통해 안정성을 시험하고 예측된 속도 및 전단 응력 프로파일을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가변 순서 분수 도함수 모델은 다양한 흐름 유형에서 벽에 둘러싸인 난류의 전체 평균 속도 프로파일을 포괄할 수 있는가?
• RQ2 레이놀즈 수와 흐름 기하학에 관계없이 적용 가능한 가변 분수 순서 α(y)에 대한 통합된 함수 형태가 존재하는가?
• RQ3 제안된 모델은 속도 및 전단 응력 예측에서 기존의 로그 법칙 및 스파ลด링 프로파일과 비교해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 분수 모델은 비국소적 난류 상호작용과 가변 확산 속도를 어느 정도 정확히 포괄하는가?
• RQ5 재학습 없이도 실험 데이터(예: 프린스턴 슈퍼파이프)에 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 가변 분수 순서 α(y)는 레이놀즈 수와 흐름 유형에 관계없이 벽에서 α(0) = 1에서 시작하여 중심선 쪽으로 낮아지는 통합된 감쇠 프로파일을 보인다.
• 채널 흐름에서 Reₜ = 180에서 8600까지의 범위에서 모델은 DNS 및 실험 데이터와 높은 정밀도로 일치하는 평균 속도 프로파일을 정확히 예측한다.
• Reₜ = 4200일 때 모델은 해당 레이놀즈 수에서 학습된 바 없이도 속도 프로파일을 정확히 예측하여 일반화 능력을 입증한다.
• Reₜ = 180에서 4200까지의 범위에서 모델은 DNS 데이터와 매우 유사한 레이놀즈 전단 응력 프로파일을 예측하여 물리적 일관성을 확인한다.
• 난류 코우에트 흐름에서 Reₜ = 52에서 250까지의 범위에서 VFM은 평균 속도 및 전단 응력 프로파일을 정확히 예측하며, DNS 및 실험 데이터와 일치한다.
• 파이프 흐름에서 넓은 레이놀즈 수 범위에서 모델은 스파ลด링 프로파일과 이중 로그 스케일 피팅보다 속도 프로파일을 더 잘 포괄한다.