[논문 리뷰] A weak Galerkin finite element method for Burgers' equation

Yanli Chen, Tie Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일차원 버거스 방정식을 해결하기 위해 새로운 약한 변분 형식을 사용한 약한 갈레르킨(WG) 유한요소법을 제안한다. 이 방법은 반연속적 및 완전연속적 스킴을 수립하며, 다항식 차수 $k$에 대해 이산 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 순서 $k+1$의 최적 수렴 속도를 증명한다. 정확한 해와 수렴 분석을 통한 수치 실험으로 검증된다.

ABSTRACT

We propose a weak Galerkin(WG) finite element method for solving the one-dimensional Burgers' equation. Based on a new weak variational form, both semi-discrete and fully-discrete WG finite element schemes are established and analyzed. We prove the existence of the discrete solution and derive the optimal order error estimates in the discrete $H^1$-norm and $L^2$-norm, respectively. Numerical experiments are presented to illustrate our theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 나비에-스토크스 방정식의 단순화된 모델인 버거스 방정식을 해결하기 위한 안정적이고 정확한 수치 스킴을 개발하기 위해.
• 특히 고 레이놀즈 수(거의 쌍곡선에 가까운) 영역에서 버거스 방정식을 해결하는 데 도전하는 데 목적을 두며.
• 양의 정부호를 보장하는 새로운 약한 변분 형식을 갖춘 약한 갈레르킨 유한요소법을 수립하기 위해.
• 반연속적 및 완전연속적 스킴에 대해 이산 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 최적 오차 추정을 유도하기 위해.
• 정확한 해와 수렴 분석을 통한 수치 실험으로 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 비선형 대류 항을 적분하고 대칭화함으로써 새로운 약한 변분 형식을 유도하여, 양의 정부호를 갖는 이차형식을 확보한다.
• 다항식 차수 $k$의 정규직교 다항식을 사용하여 국소 유한요소 공간에서 이산 약한 도함수를 정의함으로써 국소 보존성과 안정성을 확보한다.
• 반연속적 WG 스킴은 $H^1$-일치 유한요소 공간을 사용하여 공간에 대해 수립되며, 약한 함수 $v = \{v^0, v^a, v^b\}$로 표현되며, $v^0$은 내부 값이고 $v^a, v^b$는 요소 경계의 값이다.
• 완전연속적 스킴은 후진 오일러 시간 이산화를 사용하여 각 시간 단계에서 선형 시스템을 유도한다.
• 이산 약한 도함수는 안정성과 오차 분석에 핵심적인 이산 부분적 적분 항등식을 만족한다.
• 약한 갈레르킨 공간의 사영 기반 분석 및 근사 성질을 사용하여 오차 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 갈레르킨 유한요소법이 일차원 버거스 방정식에 대해 최적 수렴 속도를 갖는 효과적인 방법으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 제안된 약한 변분 형식이 이차형식의 양의 정부호성을 보장하여 안정적인 수치 해를 가능하게 하는가?
• RQ3 다양한 다항식 차수 $k$에 대해 약한 갈레르킨 유한요소법의 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ4 점진적인 점유율과 메쉬 세분화 조건에서 수치 해와 정확한 해는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 작은 점성 계수에서, 즉 쌍곡선 영역에 가까워지는 경우에도 이 방법이 높은 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 WG 유한요소법은 다항식 차수 $k$에 대해 이산 $H^1$-노름에서 최적 수렴 순서 $k+1$을 달성한다.
• 이론적 오차 추정으로 확인된 바에 따르면, $L^2$-노름에서도 최적 수렴 순서 $k+1$이 달성된다.
• 점성 계수 $\nu = 0.1$ 및 $\nu = 0.01$ 조건에서의 수치 실험은 $t_n = 0.1, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0$ 시점에서 수치 해와 정확한 해 사이에 뛰어난 일치를 보였다.
• $t_n = 1.0$에서 $k=0$ 및 $k=1$에 대한 수렴도는 $\nu = 0.1, 0.01, 0.001$ 조건에서 $H^1$ 및 $L^2$ 노름 모두에서 $k+1$ 순서 수렴을 확인하였다.
• 점성 계수 $\nu = 0.001$와 같은 작은 값에서도 이 방법은 안정적이고 정확하여 거의 쌍곡선 영역에서의 강건성을 보였다.
• 수치 결과는 이론적 오차 추정을 검증하였으며, 제안된 약한 변분 형식의 효과성을 확인하였다.