[논문 리뷰] A Wiener--Hopf Monte Carlo simulation technique for Lévy processes

A. Kuznetsov, Andreas E. Kyprianou외 2명|2009. 12. 23.

Probability and Risk Models참고 문헌 11인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 고정된 시간에서 위치와 누적 최대값의 결합 분포를 정확하게 샘플링할 수 있는 새로운 위erner–호프 몬테카를로 시뮬레이션 기법을 제안한다. 위너–호프 분해와 스케일 함수 및 분해 이론의 최근 발전을 활용하여, 특히 장벽 근처에서 기존 몬테카를로 방법에 비해 훨씬 높은 정확도를 달성한다. 이는 최대값 분포의 불연속성과 원자(atoms)를 잘 포착할 수 있기 때문이다.

ABSTRACT

We develop a completely new and straightforward method for simulating the joint law of the position and running maximum at a fixed time of a general Lévy process with a view to application in insurance and financial mathematics. Although different, our method takes lessons from Carr's so-called "Canadization" technique as well as Doney's method of stochastic bounds for Lévy processes; see Carr [Rev. Fin. Studies 11 (1998) 597--626] and Doney [Ann. Probab. 32 (2004) 1545-1552]. We rely fundamentally on the Wiener-Hopf decomposition for Lévy processes as well as taking advantage of recent developments in factorization techniques of the latter theory due to Vigon [Simplifiez vos Lévy en titillant la factorization de Wiener-Hopf (2002) Laboratoire de Mathématiques de L'INSA de Rouen] and Kuznetsov [Ann. Appl. Probab. 20 (2010) 1801--1830]. We illustrate our Wiener--Hopf Monte Carlo method on a number of different processes, including a new family of Lévy processes called hypergeometric Lévy processes. Moreover, we illustrate the robustness of working with a Wiener--Hopf decomposition with two extensions. The first extension shows that if one can successfully simulate for a given Lévy processes then one can successfully simulate for any independent sum of the latter process and a compound Poisson process. The second extension illustrates how one may produce a straightforward approximation for simulating the two-sided exit problem.

연구 동기 및 목표

• 일정 시간에서 레비 과정과 그 누적 최대값의 결합 분포를 정확하고 견고하게 시뮬레이션할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 특히 장벽 근처에서 최대값 분포의 불연속성과 원자를 포착하지 못하는 고전적 몬테카를로 방법의 한계를 극복하는 것.
• 금융 및 보험 수학 분야에서 기존 시뮬레이션 기법에 비해 수치적으로 효율적이고 이론적으로 타당한 대안을 제공하는 것.
• 이론적 경계를 활용하여 복합 포isson 외부 요인과 이중 출구 문제를 다룰 수 있도록 방법을 확장하는 것.

제안 방법

• 레비 과정의 위너–호프 분해를 이용하여 $ (X_t, \bar{X}_t) $의 결합 분포를 독립적인 성분으로 분해한다.
• 최근의 스케일 함수 및 위너–호프 분해 이론의 발전을 바탕으로 상승 및 하강 래더 높이 과정의 정확한 시뮬레이션에 의존한다.
• 알고리즘은 $ t $ 근처에 분포하는 랜덤 시간 $ \tau $ 에서 샘플링하여 $ (X_\tau, \bar{X}_\tau) $ 의 분포가 $ (X_t, \bar{X}_t) $ 와 높은 정밀도로 근사되도록 한다.
• 유한 변동성을 가진 과정의 경우, 고전적 몬테카를로와 달리 최대값 분포의 원자를 정확히 포착한다.
• 기본 과정과 독립적인 복합 포isson 성분을 조합하여 외부 요인을 가진 레비 과정의 시뮬레이션을 확장한다.
• 단조성 성질과 위너–호프 분해를 활용하여 이중 출구 문제에 대한 이론적 경계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 레비 과정에 대해 $ (X_t, \bar{X}_t) $ 의 결합 분포를 정확히 샘플링할 수 있는 몬테카를로 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 불연속적인 수익 구조를 가진 장벽 옵션을 시뮬레이션할 때 위너–호프 몬테카를로 방법은 고전적 몬테카를로 방법에 비해 어떻게 성능을 냈는가?
• RQ3 특히 상부 반직선이 비정칙일 경우, 최대값 분포의 원자를 정확히 포착할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 얼마나 넓은 범위로 외부 요인을 가진 레비 과정과 이중 출구 문제를 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 위너–호프 몬테카를로 방법은 최대값 분포의 원자를 정확히 모델링할 수 있기 때문에, 특히 초기 주가가 장벽에 가까울 경우 고전적 몬테카를로 방법보다 훨씬 높은 정확도를 달성한다.
• 상부 반직선이 비정칙일 경우, 위너–호프 방법은 장벽에서의 업아웃 장벽 옵션 가격의 불연속성을 정확히 포착하지만, 고전적 몬테카를로 방법은 이를 놓친다.
• 파라미터 세트 1에서 고전적 몬테카를로 방법은 최대값 분포에 잘못된 원자를 생성하여 큰 오차를 일으키지만, 위너–호프 방법은 이러한 편향을 피한다.
• 유한 변동성을 가진 파라미터 세트 2에서는 고전적 몬테카를로 방법이 유사한 성능을 보이나, 위너–호프 방법은 여전히 더 정확하고 이론적으로 타당한 프레임워크를 제공한다.
• 이 방법은 더블 누오 터치 장벽 옵션 가격에 대해 상한과 하한 경계를 성공적으로 생성하였으며, 고전적 몬테카를로 결과는 최대값과 최소값 추정의 누적 편향으로 인해 항상 상한을 초과한다.
• 이 알고리즘은 하이퍼기하 레비 과정이라는 새로운 클래스의 레비 과정을 포함하여 다양한 레비 과정에서 뛰어난 안정성을 보이며, 광범위한 적용 가능성을 확인한다.