[논문 리뷰] On the Lamperti stable processes

M. E. Caballero, Juan Carlos Pardo외 1명|ArXiv.org|2008. 02. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 안정, 온화한 안정, 층상 안정 과정을 일반화하는 새로운 $\ceil^d$-값을 가진 Lévy 과정인 Lamperti 안정 과정을 소개한다. Lamperti 변환과 명시적 Lévy 측도 특성화를 활용하여 특성 지수, 척도 함수, 급수 표현식을 닫힌 형태로 도출함으로써, 1차원에서의 첫 번째 통과 시간 및 지수 함수 기능과 같은 기능의 정확한 시뮬레이션과 계산 가능성을 확보한다.

ABSTRACT

We consider a new family of $\R^d$-valued Lévy processes that we call Lamperti stable. One of the advantages of this class is that the law of many related functionals can be computed explicitely (see for instance \cite{cc}, \cite{ckp}, \cite{kp} and \cite{pp}). This family of processes shares many properties with the tempered stable and the layered stable processes, defined in Rosiński \cite{ro} and Houdré and Kawai \cite{hok} respectively, for instance their short and long time behaviour. Additionally, in the real valued case we find a series representation which is used for sample paths simulation. In this work we find general properties of this class and we also provide many examples, some of which appear in recent literature.

연구 동기 및 목표

• 안정, 온화한 안정, 층상 안정 과정을 일반화하는 새로운 $\rceil^d$-값을 가진 Lévy 과정인 Lamperti 안정 과정을 정의하고 특성화하는 것.
• 이 과정들의 1차원 경우에서 특성 지수, Lévy 측도, 척도 함수에 대한 명시적 공식을 수립하는 것.
• Lamperti 안정 과정의 정확한 표본 경로 시뮬레이션을 가능하게 하는 급수 표현식을 제공하는 것.
• 첫 번째 통과 시간 및 지수 함수 기능과 같은 양의 점프가 없는 Lévy 과정의 기능에 관한 기존 결과를 통합하고 확장하는 것.
• 금융 수학 및 확률 과정 분야의 기존 모델과의 연결을 통해 이 토대의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 양의 자기유사 마코프 과정(pssMp)과 Lévy 과정을 연결하기 위해 Lamperti 변환($LT_1$)을 활용하여 변환된 과정의 Lévy 특성을 유도한다.
• Lamperti 안정 과정의 Lévy 측도는 삼중체 $(\rho, \beta, \theta)$를 통해 특성화되며, 밀도에 지수 및 거듭제곱 법칙 항이 포함된 명시적 형태를 가진다.
• Lévy-Khintchine 표현식을 사용하여 선형 이동 항 $b$와 거듭제곱 법칙 감쇠를 갖는 Lévy 측도를 포함하는 닫힌 형태의 특성 지수를 도출한다.
• Lévy 측도의 구조에 기반한 급수 표현식을 구성하여 1차원에서의 표본 경로 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 스케일 함수 $W^*(x)$는 감마 함수와 지수 항을 포함하는 적분 표현식을 사용하여 명시적으로 계산된다.
• 이론적 결과는 Patie [28], Chaumont 등 [10], Eberlein과 Madan [13] 등 문헌에 알려진 과정들과의 연결을 통해 검증되며, 일관성과 더 넓은 적용 가능성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정 과정의 단기 행동과 브라운 운동의 장기 행동을 조합하면서도 분석적 취급 용이성을 유지하는 새로운 Lévy 과정의 체계적 구성 방법은 무엇인가?
• RQ2 Lamperti 안정 과정의 1차원에서의 특성 지수와 Lévy 측도의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 Lamperti 안정 과정에 대해 정확한 표본 경로 시뮬레이션을 가능하게 하는 급수 표현식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 Lamperti 안정 과정은 온화한 안정 및 층상 안정 과정과 같은 기존 클래스와 구조적 및 분석적 성질 측면에서 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 토대는 첫 번째 통과 시간, 오버슈트, 지수 함수 기능과 같은 기능 계산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Lamperti 안정 과정의 특성 지수는 Lévy-Khintchine 공식에 의해 명시적으로 주어지며, Lévy 측도가 $\Pi(dx) = \left(\frac{c_+ e^{bx}}{(e^x - 1)^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x>0\}} + \frac{c_- e^{bx}}{(1 - e^x)^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x<0\}} \right) dx$ 형태를 가지며, 여기서 $b$는 Lévy 측도로부터 유도된 선형 이동 항이고 $K$는 상수이다.
• 과정 $Y^{*,P}$의 척도 함수는 $W^*(x) = \frac{1}{c_+ \Gamma^2(1 - \alpha)} \int_0^x e^{-(\alpha - \beta)y} (e^y - 1)^{\alpha - 1} dy$로 주어지며, 이는 첫 번째 통과 문제에 대한 명시적 표현을 제공한다.
• $X^{PL}$ 과정이 양의 점프가 없는 두 개의 독립적인 Lamperti 안정 과정의 합으로 분해됨을 보여주며, 각각의 매개변수는 $(\alpha+1, \beta+1, \sigma_1, b_1 - K)$ 및 $(\alpha+1, \beta, \sigma_2, b_2)$로 주어지며, 이는 향후 기능 분석을 가능하게 한다.
• 논문은 $\alpha X^L$ 및 $\alpha X^{L,2}$의 지수 함수 기능이 안정 및 감마 변수를 포함하는 알려진 인수 분해를 통해 계산될 수 있음을 규명하며, Eberlein과 Madan [13]의 모델과 연결된다.
• 오르누하이너-울렌벡 과정의 역국소시간의 Lévy 측도가 매개변수 $(1/2, 1, \sqrt{\gamma/\pi})$를 갖는 Lamperti 안정 분포와 일치함을 보여주며, 이는 비정상적인 확률 과정 설정에서 토대의 타당성을 검증한다.
• 이 토대는 [6], [10], [24], [28]의 기존 결과를 성공적으로 복원하고 일반화하며, 특히 스펙트럴로 하나의 측면 Lévy 과정에 대한 위너-홉프 인수와 척도 함수 계산에 응용된다.