[논문 리뷰] A Wilf equivalence related to two stack sortable permutations

David Callan|ArXiv.org|2005. 10. 11.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 3-5-2-4-1-만족 조건을 만족하는 순열 클래스와 31-4-2-다른 패턴을 피하는 순열 클래스 사이의 Wilf 등가성을 확립한다. 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값(LRmax)에 기반한 재귀적 전단사 함수와 3-2-1-피하는 및 3-1-2-피하는 순열에 대한 기존 특성화를 활용하여, 저자들은 이러한 클래스들이 등수를 가지며, 이는 두 개별적으로 보이는 패턴 회피 조건 사이에 구조적 연결을 제공한다. 이 전단사는 LRmax 사양을 유지한다.

ABSTRACT

A permutation is so-called two stack sortable if it (i) avoids the (scattered) pattern 2-3-4-1, and (ii) contains a 3-2-4-1 pattern only as part of a 3-5-2-4-1 pattern. Here we show that the permutations on [n] satisfying condition (ii) alone are equinumerous with the permutations on [n] that avoid the mixed scattered/consecutive pattern 31-4-2. The proof uses a known bijection from 3-2-1-avoiding to 3-1-2-avoiding permutations.

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 패턴 조건으로 정의된 두 순열 클래스 사이의 Wilf 등가성을 확립하기 위해.
• 리처드 브랄디가 제기한 3-5-2-4-1-만족 순열의 수를 세는 문제를 해결하기 위해.
• 모든 n에 대해 [n] 위의 3-5-2-4-1-만족 순열의 수가 [n] 위의 31-4-2-피하는 순열의 수와 동일함을 보여주기 위해.
• 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값과 기존의 3-2-1/3-1-2-피하는 특성화를 활용하여, 이러한 두 등수 클래스 사이의 구조적 전단사를 제공하기 위해.
• 혼합된 산산이 흩어진/연속된 패턴과 더 복잡한 5자리 패턴 조건 사이의 패턴 회피 Wilf 등가성을 확장하기 위해.

제안 방법

• 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값(LRmax) 사양(P, M)을 통해 순열을 특성화한다. 여기서 P는 LRmax의 위치 순서, M은 그 값의 순서이다.
• 각 LRmax 사양에 대해 최소 및 최대 순열을 정의한다: 최소 순열은 사용되지 않은 원소 중 가장 작은 것으로 상자들을 채우며, 최대 순열은 새로운 LRmax를 만들지 않는 가장 큰 원소로 채운다.
• 각 LRmax 사양에 대해 3-2-1-피하는 최소 순열과 3-1-2-피하는 최대 순열 사이의 기존 전단사를 활용한다.
• 재귀적 특성화를 수립한다: 순열이 3-5-2-4-1-만족이면, 각 LRmax 사이의 블록 Li가 3-5-2-4-1-만족이면서, 블록의 오름차순 정렬된 버전이 3-2-1-피하는 것으로서 전체 조건을 만족한다.
• 유사하게, 순열이 31-4-2-피하는 것은 각 Li가 31-4-2-피하는 것이며, 블록의 내림차순 정렬된 버전이 3-1-2-피하는 것으로서 전체 조건을 만족한다.
• LRmax 사양을 유지하면서 3-5-2-4-1-만족 순열을 31-4-2-피하는 순열로 매핑하는 재귀적 전단사를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n에 대해 [n] 위의 3-5-2-4-1-만족 순열의 수와 31-4-2-피하는 순열의 수가 동일한가?
• RQ2 3-5-2-4-1-만족 및 31-4-2-피하는 순열 사이에 LRmax 구조를 유지하는 구조적 전단사를 정의할 수 있는가?
• RQ3 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값 사이의 블록에 대한 어떤 구조적 조건이 3-5-2-4-1-만족 또는 31-4-2-피하는 것을 보장하는가?
• RQ4 최소 및 최대 순열을 통한 3-2-1-피하는 및 3-1-2-피하는 순열의 기존 특성화가 더 복잡한 패턴 조건으로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 이 두 패턴 클래스 사이의 Wilf 등가성에 대한 더 깊은 조합론적 이유가 존재하는가?

주요 결과

• [n] 위의 3-5-2-4-1-만족 순열의 수가 [n] 위의 31-4-2-피하는 순열의 수와 동일하며, 이는 Wilf 등가성을 확립한다.
• 등가는 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값 사양을 유지하는 재귀적 전단사를 통해 증명된다.
• 전단사는 각 LRmax 사양에 대해 최소(3-2-1-피하는) 및 최대(3-1-2-피하는) 순열 사이의 기존 대응을 활용하여 구성된다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값 사이의 각 블록 Li는 개별적으로 해당 패턴 조건(3-5-2-4-1 또는 31-4-2)을 만족해야 전체 순열이 전역 조건을 만족한다.
• 블록의 정렬된 버전—3-5-2-4-1-만족의 경우 오름차순, 31-4-2-피하는 경우 내림차순—은 각각 3-2-1-피하거나 3-1-2-피하는 것으로서 전체 구조가 유지됨을 보장한다.
• 이 결과는 혼합된 산산이 흩어진/연속된 5자리 패턴과 더 복잡한 4자리 대시 패턴을 포함하는 두 패턴 클래스 사이의 Wilf 등가성의 새로운 사례를 제공한다.