[논문 리뷰] A Zvonkin's transformation for stochastic differential equations with singular drift and related applications

Chenggui Yuan, Shao‐Qin Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 조건 하에서 허들 연속성 확산 계수와 특이한 비율을 가진 드리프트를 갖는 확률미분방정식(SDEs)에 대해, 새로운 $L^p$-$L^q$ 및 파라볼릭 PDE에 대한 소볼레프 추정을 사용한 새로운 Zvonkin 유형의 변환을 제안한다. 이 방법을 통해 허들 연속성 확산 계수와 특이한 드리프트를 갖는 SDE에 대해 Krylov 추정 및 하르낙 부등식을 도출할 수 있으며, 특히 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < \frac{1}{2}$ 일 때는 추가 상수가 없는 하르낙 부등식을 확보할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, by establishing the $L^p$-$L^q$ estimate and Sobolev estimates for parabolic partial differential equations with a singular first order term and a Lipschitz first order term, a new Zvonkin-type transformation is given for stochastic differential equations with singular and Lipschitz drifts. The associated Krylov's estimate is established. As applications, Harnack inequalities are established for stochastic equations with Hölder continuous diffusion coefficient and singular drift term without regularity assumption.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법이 드리프트의 선형 성장으로 인해 실패하는 상황에서 특이성과 리프시츠 드리프트를 동시에 갖는 SDE에 대해 새로운 Zvonkin 유형의 변환을 개발하는 것.
• 이전 연구에서의 한계를 극복하기 위해 특이한 일阶 항을 갖는 파라볼릭 PDE에 대한 $L^p$-$L^q$ 및 소볼레프 추정을 수립하는 것.
• 리치드 드리프트에 대한 정규성 가정 없이도 허들 연속성 확산 계수와 특이 드리프트를 갖는 SDE에 대해 Krylov 추정 및 하르낙 부등식을 도출하는 것.
• 변환된 SDE에 대해 경로별 유일성과 강한 해의 존재를 증명하여, 더 넓은 범위의 불규칙한 계수에 대한 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 변환 함수 $\phi(t,x)$를 만족하는 새로운 파라볼릭 PDE를 풀며, $\partial_t\phi^i + \frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma\sigma^*\nabla^2\phi^i) + \langle b + b_0, \nabla\phi^i \rangle = -b_0^i + \lambda\phi^i$ 를 만족하며, 이는 Zvonkin 변환 $\Phi_t(x) = \phi(t,x) + x$ 를 정의한다.
• 특이 드리프트 $b_0$ 가 $\int_0^T \left( \int_{\mathbb{R}^d} |b_0|^p \, dx \right)^{q/p} dt < \infty$ 를 만족하고 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 일 때, 가중 $L^p$-$L^q$ 공간에서 변환을 구성한다.
• 원래 SDE를 새로운 SDE로 변환하기 위해 $\Phi_t^{-1}$ 를 사용하며, 이는 정규성 성질을 유지한다.
• Harnack 부등식을 도출하기 위해 [25, 26]에 영향을 받은 수정된 커플링 방법을 사용하며, 이는 지수 $\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ 에서의 허들 연속성 확산 계수를 허용한다.
• 경로별 유일성을 증명하기 위해 하르디-리틀우드 최대함수와 확률적 그론발의 부등식을 포함한 정밀 추정에 기반한다.
• 이론적 도구로는 $W^{2,p}_q$ 추정 및 임bedding 정리들을 사용하여 변환과 그 역함수의 정규성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트의 $\partial_t\phi$ 에 대한 표준 $L^p$-$L^q$ 추정이 성립하지 않는 특이 드리프트를 갖는 SDE에 대해 Zvonkin 유형의 변환이 구축될 수 있는가?
• RQ2 새로운 변환이 변환된 SDE의 드리프트가 리프시츠 성질을 유지하는가? 이는 기존의 정규성 도구를 적용할 수 있도록 한다.
• RQ3 특이 드리프트와 허들 연속성 확산 계수를 갖는 SDE에 대해 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 조건 하에서 $L^p$-$L^q$ 조건 하에 하르낙 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ4 더 엄격한 조건 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < \frac{1}{2}$ 하에서 추가 상수가 없는 하르낙 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 확산 계수가 $(\frac{1}{2}, 1]$ 지수의 허들 연속성만을 갖는 SDE에 대해 특이 드리프트를 갖는 경우 경로별 유일성을 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 특이한 일阶 항을 갖는 파라볼릭 PDE를 풀어 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 조건 하에서 특이성과 리프시츠 드리프트를 갖는 SDE에 대해 새로운 Zvonkin 유형의 변환을 구성하였다.
• 변환은 변환된 SDE의 드리프트가 여전히 리프시츠 성질을 유지함으로써 Krylov 추정 및 경로별 유일성 적용이 가능하다.
• 지수 $[\frac{1}{2}, 1]$ 에서의 허들 연속성 확산 계수와 특이 드리프트를 갖는 SDE에 대해 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 조건 하에서 거듭제곱 형태의 하르낙 부등식을 확립하였다.
• $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < \frac{1}{2}$ 일 때는 추가 상수가 없는 하르낙 부등식을 도출하였으며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 수정된 커플링 방법과 확률적 그론발의 부등식을 통해 최대함수 추정 및 $\nabla\sigma$ 의 $L^p_q$ 공간 내 적분 가능성에 기반하여 경로별 유일성을 증명하였다.
• 이 방법은 이전 연구에서의 한계를 극복하여 Zvonkin 변환의 적용 범위를 선형 성장 드리프트와 특이 계수를 갖는 SDE로 확장하였다.