[논문 리뷰] Abelian right perpendicular subcategories in module categories

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 아벨 범주가 모듈러 범주에 정확하고 완전충실하게 임베딩될 수 있고, 오른쪽 수직 부분범주로 나타날 수 있을 때, 그리고 오직 그 때에만, 국소적으로 존재하는 프로젝티브 생성자를 가진다는 것을 증명한다—즉, 유한한 무한 차수를 가진 가군의 덧셈 대수적 이론의 모델의 범주로 동치이다. 주요 기여는 이러한 범주들을 집합 위의 접근 가능 모나드를 통한 특성화이며, 이는 위상환 위의 컨트라모듈러 범주와 완전충실한 잊어버림 함성자에 응용된다.

ABSTRACT

We show that an abelian category can be exactly, fully faithfully embedded into a module category as the right perpendicular subcategory to a set of modules or module morphisms if and only if it is a locally presentable abelian category with a projective generator, or in other words, the category of models of an additive algebraic theory of possibly infinite bounded arity. This includes the categories of contramodules over topological rings and other examples. Various versions of the definition of the right perpendicular subcategory are considered, all leading to the same class of abelian categories. We also discuss sufficient conditions under which the natural forgetful functors from the categories of contramodules to the related categories of modules are fully faithful.

연구 동기 및 목표

• 정확하고 완전충실한 임베딩을 통해 모듈러 범주 내에서 오른쪽 수직 부분범주로 나타날 수 있는 아벨 범주를 특성화하는 것.
• 그러한 임베딩이 존재할 조건, 특히 프로젝티브 생성자와 국소 존재성과의 관계를 명확히 하는 것.
• 다양한 오른쪽 수직 부분범주의 정의를 통합하고, 이들이 동치인 아벨 범주의 클래스를 만들어내는 방식을 보여주는 것.
• 특히 위상환의 맥락에서, 컨트라모듈러 범주에서 모듈러 범주로의 잊어버림 함성자가 완전충실한 조건을 조사하는 것.
• 무한 차수의 덧셈 대수적 이론의 모델로 나타나는 컨트라모듈러를 이해하기 위한 범주론적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 완전한 아벨 범주에 프로젝티브 생성자를 가진다는 조건을 만족시키기 위해 집합의 범주 위의 접근 가능 모나드를 사용하는 것.
• 유한한 무한 차수를 가진 덧셈적 접근 가능 모나드에 대한 모듈러 범주로서 아벨 범주를 특성화하는 것.
• 특정 맥락에서 핵과 코어널을 모두 포함하는 완전한 부분범주를 식별하기 위해 수직 부분범주 이론을 적용하는 것.
• 다항식 및 로렌츠 다항식 환을 사용하여 반대층 코셰이브를 모델링하고, 비아벨 부분범주를 보여주는 예를 구성하는 것.
• Ext 및 Hom 군의 소멸 조건과 같은 호모로지 조건을 사용하여 수직 부분범주를 정의하고 검증하는 것.
• 수직 조건에 의해 정의된 완전한 부분범주는 오직 그 부분범주가 국소적으로 존재하고 프로젝티브 생성자를 가질 때에만 아벨 범주가 된다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 아벨 범주가 정확하고 완전충실한 임베딩을 통해 모듈러 범주의 오른쪽 수직 부분범주와 동치가 되는가?
• RQ2 컨트라모듈러에서 모듈러로의 잊어버림 함성자가 완전충실해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 아벨 범주의 맥락에서 다양한 오른쪽 수직 부분범주의 정의는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 모듈러 범주의 완전한 부분범주는 어떤 조건에서 아벨 범주이면서 핵과 코어널을 모두 포함하는가?
• RQ5 유한한 무한 차수를 가진 덧셈 대수적 이론의 모델로 나타나는 아벨 범주는 무엇으로 특성화되는가?

주요 결과

• 아벨 범주가 모듈러 범주의 오른쪽 수직 부분범주와 동치일 조건은 국소적으로 존재하고 프로젝티브 생성자를 가진다는 것이다.
• 그러한 범주는 정확히 유한한 무한 차수를 가진 덧셈 대수적 이론의 모델의 범주이거나, 동치로 집합 위의 접근 가능이고 덧셈적인 모나드에 대한 모듈러 범주이다.
• 위상환 위의 컨트라모듈러 범주에서 관련된 모듈러 범주로의 잊어버림 함성자는 특정 조건 하에서 완전충실하다—예를 들어, 환이 완비이자 분리되고, 0의 이웃을 이루는 열린 오른쪽 이상의 기저를 가질 때.
• 핵과 코어널을 모두 포함하지만 아벨 범주가 아닌 완전한 부분범주의 예가 존재함을 보여주며, 이는 아벨성 조건이 자동으로 성립하지 않음을 시사한다.
• 프로젝티브 선형에서의 반대층 코셰이브 범주는 행렬환 위의 모듈러 범주 내에서 오른쪽 수직 부분범주로 모델링될 수 있다.
• 특정 수직 부분범주에서 코어널이 존재하지 않는 사상의 존재는, 이러한 부분범주가 환경 범주 내에서 닫혀 있더라도 내부적으로 코어널을 포함하지 않을 수 있음을 보여준다.