[논문 리뷰] Abelian varieties of prescribed order over finite fields

Raymond van Bommel, Edgar Costa외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 25.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 소수 거듭제곱 $q$에 대해, 충분히 큰 차수 $n$을 가진 기하학적으로 단순하고, 보통이며, 주로 극대화된 아벨 다양체에 대해, $F_q$-유리점의 수로 표현될 수 있는 모든 충분히 큰 양의 정수는 $F_q$ 위에서 존재함을 증명한다. 이 결과는 효과적인 한계를 통해 하스제-바일 간격 내에서 정수의 밀집된 표현을 확립하며, 훨씬 이른바 훠와 킷레이아가 $F_2$에 대해 수행한 작업을 모든 $q$로 확장한다. 주요 기여는 점 清진한 최적화된 실현 가능한 순서의 간격을 제공함으로써, 디피ppo와 후우(1998)의 고전적 한계를 향상시키는 것이다.

ABSTRACT

Given a prime power $q$ and $n \gg 1$, we prove that every integer in a large subinterval of the Hasse--Weil interval $[(\sqrt{q}-1)^{2n},(\sqrt{q}+1)^{2n}]$ is $#A(\mathbb{F}_q)$ for some geometrically simple ordinary principally polarized abelian variety $A$ of dimension $n$ over $\mathbb{F}_q$. As a consequence, we generalize a result of Howe and Kedlaya for $\mathbb{F}_2$ to show that for each prime power $q$, every sufficiently large positive integer is realizable, i.e., $#A(\mathbb{F}_q)$ for some abelian variety $A$ over $\mathbb{F}_q$. Our result also improves upon the best known constructions of sequences of simple abelian varieties with point counts towards the extremes of the Hasse--Weil interval. A separate argument determines, for fixed $n$, the largest subinterval of the Hasse--Weil interval consisting of realizable integers, asymptotically as $q o \infty$; this gives an asymptotically optimal improvement of a 1998 theorem of DiPippo and Howe. Our methods are effective: We prove that if $q \le 5$, then every positive integer is realizable, and for arbitrary $q$, every positive integer $\ge q^{3 \sqrt{q} \log q}$ is realizable.

연구 동기 및 목표

• 주어진 $F_q$에서 아벨 다양체의 $\nF_q$-유리점 수로 실현 가능한 하스제-바일 간격 내의 정수들을 규명하는 것.
• 후우와 킷레이아가 $F_2$에서 모든 양의 정수가 실현 가능하다고 증명한 결과를 모든 소수 거듭제곱 $q$로 확장하는 것.
• 이전의 극단적인 점 수를 가진 아벨 다양체의 구성 방식을 향상시켜 실현 가능한 정수에 대한 효과적인 하한을 확립하는 것.
• 고정된 차수 $n$에 대해, $q \to \infty$일 때 하스제-바일 간격 내 실현 가능한 정수로 이루어진 가장 큰 부분간격을 결정하고, 점 清진한 최적화를 달성하는 것.
• 특정 $p$-랭크를 가진 아벨 다양체로 결과를 일반화하고, 이러한 실현을 위한 필요 조건(예: $p$에 대한 합동 조건)을 규명하는 것.

제안 방법

• 호단–테이트 이론을 활용하여 프로베니우스 에ンド모르피즘과 점 수를 연결함으로써 문제를 특정 웨일 수를 가진 아벨 다양체의 구성 문제로 환원한다.
• 잠재론적 방법과 단위 원주 위의 평형 측도를 사용하여 웨일 수의 분포 및 관련 아벨 다양체의 분포를 분석한다.
• 가중 에너지 최소화와 로그 잠재함수를 활용하여 $p$-진 값매김과 점 수 제약 조건에 관련된 평형 측도의 지지 및 행동을 제어한다.
• 복소 평면의 구간을 실수선으로 매핑하기 위해 함수 $\tau(x) = x + \sqrt{x^2 - 1}$를 활용하여 원하는 성질을 가진 웨일 수를 구성한다.
• 스탈과 토티크의 잠재론적 이론(예: 외부 필드가 있는 평형 측도) 결과를 적용하여 단위 원주 위의 측도의 지지 및 에너지에 대한 한계를 도출한다.
• 수정된 로빈 상수와 로그 잠재함수를 사용하여 모든 정수 $\geq q^{3\sqrt{q}\log q}$가 실현 가능하다는 것을 보여주는 효과적인 한계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 소수 거듭제곱 $q$에 대해, 하스제-바일 간격 내 어떤 정수가 $\nF_q$ 위의 어떤 아벨 다양체 $A$에 대해 $\#A(\nF_q)$로 실현 가능한가?
• RQ2 모든 충분히 큰 양의 정수는 기하학적으로 단순하고, 보통이며, 주로 극대화된 아벨 다양체에 대해 $\nF_q$ 위에서 $\#A(\nF_q)$로 실현 가능할 수 있는가?
• RQ3 고정된 $n$에 대해 $q \to \infty$일 때, 하스제-바일 간격 내에서 실현 가능한 정수로 이루어진 가장 큰 부분간격은 무엇인가?
• RQ4 디피ippo와 후우(1998)의 고전적 한계와 비교했을 때 실현 가능한 점 수 집합은 어떻게 되며, 점 清진한 최적화로 간격을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 결과를 특정 $p$-랭크를 가진 아벨 다양체로 확장할 수 있으며, 이러한 실현을 위한 필요한 산술 조건(예: $p$에 대한 합동 조건)은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 소수 거듭제곱 $q$에 대해, 모든 양의 정수 $\geq q^{3\sqrt{q}\log q}$는 기하학적으로 단순하고, 보통이며, 주로 극대화된 아벨 다양체 $A$에 대해 $\nF_q$ 위에서 $\#A(\nF_q)$로 실현 가능하다.
• $q \leq 5$일 경우, 모든 양의 정수가 $\#A(\nF_q)$로 실현 가능하며, 후우와 킷레이아의 결과를 $q \leq 5$까지 확장한다.
• 충분히 큰 $n$에 대해, 간격 $[(q - 2q^{1/2} + 3 - q^{-1})^n, (q + 2q^{1/2} - 1 - q^{-1})^n]$ 내의 모든 정수는 어떤 $n$-차원 아벨 다양체 $A$에 대해 $\nF_q$ 위에서 $\#A(\nF_q)$로 실현 가능하다.
• 실현 가능한 정수의 간격은 큰 $n$에 대해 $[q^n, q^{n+1}]$를 포함하므로, 모든 충분히 큰 양의 정수는 $\nF_q$ 위에서 실현 가능하다.
• 이 방법은 고정된 $n$에 대해 $q \to \infty$일 때, 실현 가능한 간격의 길이가 이론적으로 알려진 최고의 한계와 일치함으로써 점 清진한 최적화를 달성한다. 이는 디피ippo와 후우(1998)의 결과를 향상시키는 것이다.
• 결과는 $p$-랭크 $r \in [0,n]$를 가진 아벨 다양체로 확장되며, $r = 0$일 경우 $m \equiv 1 \pmod{p}$ 조건이 성립함으로써 주어진 점 수를 가진 이러한 다양체의 존재를 보장한다.