[논문 리뷰] About the equivalence between monads and monadic functors

Hadrian Heine|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 02.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소화 구축을 통해 ∞-범주 X를 대상으로 하는 모나딕 함자들의 ∞-범주와 X 위의 모나드들의 반대 ∞-범주 사이의 동치를 수립한다. 또한 이 동치를 보다 정교하게 다듬어, 예를 들어 대칭 모나드나 ∞-오페라드 구조와의 호환성과 같은 대수적 구조를 유지함으로써, 모나드의 구조가 그 ∞-범주적 대수들의 구조와 정확히 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

Given a $\infty$-category X we exhibit the $\infty$-category of right adjoint functors with target X as a localization of the opposite of the $\infty$-category of monads on X. This localization restricts to an equivalence between the $\infty$-category of monadic functors with target X and the opposite of the $\infty$-category of monads on X. We refine this result in the case that the monads carry algebraic structure, e.g. are monads on a (symmetric) monoidal $\infty$-category compatible with the (symmetric) monoidal structure, monads on a $\infty$-operad compatible with the $\infty$-operad structure or monads on a double $\infty$-category compatible with this structure. This says that structure on a monad corresponds to structure on its $\infty$-category of algebras. Moreover we prove dual results about left adjoint functors, comonads and comonadic functors.

연구 동기 및 목표

• 국소화를 이용하여 ∞-범주 X를 대상으로 하는 모나딕 함자들과 X 위의 모나드들의 반대 ∞-범주 사이의 범주론적 동치를 수립하기.
• 이 동치를 대칭 모나드나 ∞-오페라드 구조와의 호환성 등의 추가적인 대수적 구조를 가진 모나드로 확장하기.
• 좌측 수반 함자, 코모나드, 코모나딕 함자에 대해 결과를 이중화하기.
• 모나드에 존재하는 대수적 구조가 그 ∞-범주적 대수들의 구조로 정확히 유도됨을 보여주기.

제안 방법

• X 위의 모나드들의 반대 ∞-범주를 국소화하여, X를 대상으로 하는 우측 수반 함자들을 모델링하기.
• 우측 수반 함자들을 전부 포함하는 완전한 부분범주로 식별하는 유일성 성질을 통해 국소화를 구성하기.
• 모나드에 추가 구조(예: 모나드적 또는 ∞-오페라드 호환성)가 존재할 경우, 이러한 구조가 동치에 의해 유지됨을 적용하기.
• 결과로 얻어진 동치가 모나딕 함자들과 반대 모나드들 사이의 동치로 제한됨을 증명하기.
• 좌측 수반 함자, 코모나드, 코모나딕 함자에 대해 반대 ∞-범주를 이용해 구성의 이중화 수행하기.
• 모나드의 구조가 그 대수의 범주에 어떻게 반영되는지 보여줌으로써, 대응이 대수적 구조를 유지함을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대상이 X인 우측 수반 함자들의 ∞-범주는 어떻게 X 위의 모나드들의 반대 ∞-범주의 국소화로 특징지을 수 있는가?
• RQ2 대수적 구조를 지닌 모나드와 그 ∞-대수의 범주 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 대칭 모나드나 ∞-오페라드 구조와의 호환성을 갖는 모나드에 대해, 모나딕 함자와 반대 모나드 사이의 동치는 어떻게 확장되는가?
• RQ4 ∞-범주적 설정에서 모나드와 모나딕 함자 간의 이중성은 코모나드와 코모나딕 함자로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 모나드에 호환 가능한 대수적 구조가 존재할 경우, 그에 따라 그 대수의 범주에도 대응 구조가 유도되는가?

주요 결과

• 대상이 X인 우측 수반 함자들의 ∞-범주는 X 위의 모나드들의 반대 ∞-범주의 국소화와 동치이다.
• 이 국소화는 대상이 X인 모나딕 함자들의 ∞-범주와 X 위의 모나드들의 반대 ∞-범주 사이의 동치를 유도한다.
• 대칭 모나드나 ∞-오페라드 구조와의 호환성을 지닌 모나드의 경우, 그 대수의 범주에 유도된 구조는 모나드가 지닌 구조와 정확히 일치한다.
• 이중성은 좌측 수반 함자, 코모나드, 코모나딕 함자로 확장되어, 코모나딕 함자들과 반대 코모나드 사이의 이중 동치를 수립한다.
• 대응은 구조를 유지한다: 모나드의 대수적 특징(예: 모나드 호환성)은 그 대수의 범주에서도 대응하는 특징으로 반영된다.
• 결과적으로, ∞-범주적 설정에서 모나드의 구조와 그 대수의 범주적 구조 사이에 정확한 일대일 대응이 존재함을 보여준다.