[논문 리뷰] Ac-conductivity and electromagnetic energy absorption for the Anderson model in linear response theory

Abel Klein, Peter Müller|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 03.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 앤더슨 모형에서 비영 온도에서의 교류 전도도 측도의 비자명성을 확립하고, 고온 근사 및 불순도에 대한 점점 가까운 행동을 유도하며, 선형 반응 이론을 통해 전자기 에너지 흡수를 전도도 측도로 표현한다. 핵심 결과는 에너지 흡수를 $ W_{\text{lin}}^T(\widetilde{u}) = 2\widetilde{u} \big( \Sigma_{\mu}^T(d\nu) \big) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ 로 기술하는 공식으로, 이는 시스템의 스펙트럼 측도와 연결된다.

ABSTRACT

We continue our study of the ac-conductivity in linear response theory for the Anderson model using the conductivity measure. We establish further properties of the conductivity measure, including nontriviality at nonzero temperature, the high temperature limit, and asymptotics with respect to the disorder. We also calculate the electromagnetic energy absorption in linear response theory in terms of the conductivity measure.

연구 동기 및 목표

• 앤더슨 모형에서 비영 온도에서의 교류 전도도 측도의 비자명성을 확립하기 위해.
• 전도도 측도의 고온 근사 및 불순도 강도에 대한 점점 가까운 행동을 도출하기 위해.
• 선형 반응 이론에서 전자기 에너지 흡수를 전도도 측도의 언어로 표현하기 위해.
• 특히 국소화와 랜덤 슈뢰딩거 연산자를 고려할 때, 전도도 측도를 통해 에너지 흡수를 시스템의 스펙트럼 성질과 연결하기 위해.

제안 방법

• 전도도 측도 $ \Sigma_{\mu}^T(d\nu) $ 가 중심 대상이 되며, 랜덤 슈뢰딩거 연산자 $ H = -\Delta + V_\omega $ 를 갖는 앤더슨 모형의 선형 반응 이론을 통해 정의된다.
• 에너지 흡수의 도출은 시스템의 에너지 시간 도함수를 사용하며, 트레이스의 순환 불변성과 하이젠베르크 운동 방정식을 활용한다.
• 선형 반응 전류는 교환자 $ [X_1, H(t)] $ 를 통해 계산되며, 전도도 측도와 전기장의 푸리에 변환 $ \widehat{\mathcal{E}}(\nu) $ 를 포함하는 표현으로 이어진다.
• 최종 흡수 공식은 주파수 $ \nu $ 에 대한 적분으로 에너지를 표현함으로써 유도되며, $ \Sigma_{\mu}^T $ 가 짝수라는 성질을 활용하여 $ W_{\text{lin}}^T(\mathcal{E}) = 2\pi \int \Sigma_{\mu}^T(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ 를 얻는다.
• 분석은 앤더슨 해밀토니안의 에르고딕성과 유한 온도에서 평형 상태를 위한 페르미-디랙 분포의 사용에 의존한다.
• 유도는 $ T > 0 $ 또는 $ \mu \in \Xi_0 $ 인 조건 하에서 유효하며, 이는 트레이스가 잘 정의되고 에너지 변화가 유한함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 앤더슨 모형에서 비영 온도에서 교류 전도도 측도는 비자명한가?
• RQ2 전도도 측도의 고온 근사는 무엇인가?
• RQ3 불순도 강도가 증가함에 따라 전도도 측도는 점점 어떻게 행동하는가?
• RQ4 선형 반응 이론에서 전자기 에너지 흡수와 전도도 측도는 어떻게 관련되는가?
• RQ5 리우빌리안 $ \mathcal{L} $ 의 스펙트럼 지지집합은 어떤 역할을 하여 에너지 흡수에 기여하는 주파수를 결정하는가?

주요 결과

• 비영 온도에서 전도도 측도 $ \Sigma_{\mu}^T $ 는 비자명하다. 즉, 국소화 영역에서도 항상 0이 아니며, 비자명하다.
• 전도도 측도 $ \Sigma_{\mu}^T $ 의 고온 근사는 존재하며, 밀도 상태와 페르미-디랙 분포를 통해 기술된다.
• 불순도 강도가 증가함에 따라 전도도 측도는 특정한 점점 가까운 행동을 보이며, 국소화 효과와 일치하는 방식으로 측도가 집중된다.
• 선형 반응에서의 전자기 에너지 흡수는 $ W_{\text{lin}}^T(\mathcal{E}) = 2\pi \int_{\mathbb{R}} \Sigma_{\mu}^T(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ 로 주어지며, 이는 비음이면서 유한하다.
• 직류 성분이 0인 전기장($ \widehat{\mathcal{E}}(0) = 0 $)의 경우, 흡수량은 $ \frac{\pi^2}{2T} C_{\mu}^T \int \Upsilon(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ 로 아래에서 유계이므로, 유한한 온도에서 최소 흡수율이 존재함을 나타낸다.
• 에너지 흡수에 기여하는 주파수는 오직 $ \nu \in \sigma(\mathcal{L}) $ 에서만 가능하며, 흡수량은 $ \Sigma_{\mu}^T $ 가 이 스펙트럼 집합에 제한된 것에 의해 완전히 결정된다.