[논문 리뷰] Actuator Dynamics Compensation in Stabilization of Abstract Linear Systems

Hongyinping Feng, Xiaohui Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 26.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전체 상태 피드백를 사용하여 액추에이터 동역학을 보완함으로써 추상적인 무한차원 캐스케이드 시스템을 안정화하기 위한 체계적인 방법을 제안한다. 시스템을 분리하고 지수 안정성을 확립하기 위해 르바르노프 함수에 의존하지 않는 새로운 상부 블록 삼각형 변환을 도입하였으며, ODE에 PDE 액추에이터가 붙은 경우와 PDE에 유한차원 액추에이터가 붙은 경우를 포함한 도전적인 케이스들—입력 지연과 불안정한 열 방정식을 포함—에 성공적으로 대응하였다.

ABSTRACT

This is the first part of four series papers, aiming at the problem of actuator dynamics compensation for linear systems. We consider the stabilization of a type of cascade abstract linear systems which model the actuator dynamics compensation for linear systems where both the control plant and its actuator dynamics can be infinite-dimensional. We develop a systematic way to stabilize the cascade systems by a full state feedback. Both the well-posedness and the exponential stability of the resulting closed-loop system are established in the abstract framework. A sufficient condition of the existence of compensator for ordinary differential equation (ODE) with partial differential equation (PDE) actuator dynamics is obtained. The feedback design is based on a novelly constructed upper-block-triangle transform and the Lyapunov function design is not needed in the stability analysis. As applications, an ODE with input delay and an unstable heat equation with ODE actuator dynamics are investigated to validate the theoretical results. The numerical simulations for the unstable heat system are carried out to validate the proposed approach visually.

연구 동기 및 목표

• 제어 식물과 액추에이터 동역학이 모두 무한차원인 추상 캐스케이드 시스템을 안정화하기 위한 통합적이고 체계적인 접근법을 개발하기 위해.
• 유한차원 액추에이터 동역학을 사용하여 무한차원 시스템(예: PDE)을 안정화하는 데 오랫동안 지속된 과제를 해결하기 위해.
• 유도된 목표 시스템 설계와 커널 PDE에 의존하는 기존의 PDE 백스텝 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 르바르노프 함수 구성 없이도 폐루프 시스템의 잘 정의됨과 지수 안정성을 확립하기 위해.
• 두 가지 핵심 문제에 대한 방법의 효과성을 입증하기 위해: ODE에서의 입력 지연 보상과 ODE 액추에이터 동역학을 갖는 불안정한 열 방정식의 안정화.

제안 방법

• 캐스케이드 시스템을 독립된 부분계로 분리하기 위해 새로운 상부 블록 삼각형 변환을 구성하였다.
• 시스템의 분리가 실베스터 연산자 방정식을 풀음으로써 이루어지며, $A_1$ 또는 $A_2$ 중 적어도 하나가 유계일 경우 문제의 해법이 가능해진다.
• 르바르노프 함수 설계 없이도 반군 이론과 스펙트럼 분석을 통해 안정성을 증명하였다.
• 분리된 시스템에서 피드백 법칙을 유도함으로써 폐루프 시스템의 지수 안정성을 보장하였다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 ODE에 입력 지연과 불안정한 열 방정식에 ODE 액추에이터 동역학을 적용한 경우에 대해 검증하였다.
• 변환은 가시성 유지하며, 이는 무한차원 식물에 대해 유한차원 제어 설계 기법을 적용할 수 있음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 무한차원 액추에이터 동역학을 갖는 캐스케이드 시스템을 안정화하기 위한 통합 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 제어 식물이 무한차원이고 액추에이터가 유한차원인 시스템에서 액추에이터 동역학 보정을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 PDE 백스텝이나 르바르노프 함수에 의존하지 않고 ODE-PDE 및 PDE-ODE 캐스케이드 시스템을 체계적으로 안정화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 실베스터 방정식 접근법을 사용하여 비유계 연산자를 갖는 복잡한 캐스케이드 시스템을 분리하고 안정화할 수 있는가?
• RQ5 유한차원 제어기가 불안정한 열 방정식과 같은 무한차원 시스템을 효과적으로 안정화할 수 있는가?

주요 결과

• ODE 시스템에 PDE 액추에이터 동역학이 붙은 경우, 실베스터 방정식의 해법에 기반하여 보상기 존재에 대한 충분조건가 확립되었다.
• 제안된 전체 상태 피드백 법칙 하에 폐루프 시스템이 잘 정의되고 지수 안정됨이 증명되었다.
• ODE 액추에이터 동역학을 갖는 불안정한 열 방정식의 경우, 유한차원 제어기가 무한차원 식물을 성공적으로 안정화하였으며, 스펙트럼 할당을 통해 안정한 근을 -2에 위치시켰다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 제어기의 효과성이 확인되었으며, PDE 및 ODE 성분의 상태 궤적 모두에서 제어 입력이 매끄럽고 빠르게 감쇠되는 경향을 보였다.
• 입력 지연이 있는 ODE의 경우에도 제어기가 성공적으로 안정화하였으며, 이는 시간 지연 시스템을 운반 PDE로 모델링한 데 적용 가능함을 보여주었다.
• 이 방법은 일반적이며, 후속 연구에서 에일러-버누이 빔 동역학 및 기타 복잡한 PDE를 포함한 시스템으로도 확장되었음을 검증하였다.