[논문 리뷰] Acyclic coloring of special digraphs

Frank Gurski, Dominique Komander외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 24.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 52인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 입력 방향 그래프의 방향 클리크-너비가 일정할 경우, 방향 클리크-너비 표현 트리 위에서 하향식 동적 프로그래밍을 사용하여, 방향 그래프의 이색수를 계산하는 최초의 다항식 시간 알고리즘을 제시한다. 주요 기여는 방향 클리크-너비에 대해 XP 알고리즘과 동시에 방향 클리크-너비 및 색상 수에 대해 FPT 알고리즘을 제공하는 것으로, 방향 코그래프 및 그 일반화된 경우에 대해선 선형 시간 해법을 제공한다.

ABSTRACT

An acyclic r-coloring of a directed graph G=(V,E) is a partition of the vertex set V into r acyclic sets. The dichromatic number of a directed graph G is the smallest r such that G allows an acyclic r-coloring. For symmetric digraphs the dichromatic number equals the well-known chromatic number of the underlying undirected graph. This allows us to carry over the W[1]-hardness and lower bounds for running times of the chromatic number problem parameterized by clique-width to the dichromatic number problem parameterized by directed clique-width. We introduce the first polynomial-time algorithm for the acyclic coloring problem on digraphs of constant directed clique-width. From a parameterized point of view our algorithm shows that the Dichromatic Number problem is in XP when parameterized by directed clique-width and extends the only known structural parameterization by directed modular width for this problem. Furthermore, we apply defineability within monadic second order logic in order to show that Dichromatic Number problem is in FPT when parameterized by the directed clique-width and r. For directed co-graphs, which is a class of digraphs of directed clique-width 2, and several generalizations we even show linear time solutions for computing the dichromatic number. Furthermore, we conclude that directed co-graphs and the considered generalizations lead to subclasses of perfect digraphs. For directed cactus forests, which is a set of digraphs of directed tree-width 1, we conclude an upper bound of 2 for the dichromatic number and we show that an optimal acyclic coloring can be computed in linear time.

연구 동기 및 목표

• 특정 유형의 방향 그래프에서 이색수 문제에 대한 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 특히 구조적 매개변수에 의해 유계된 클래스에 대해, 순환 없는 색칠 문제의 계산 복잡도를 다루기 위해.
• 방향 클리크-너비를 사용하여 무방향 그래프 색칠의 매개변수 복잡도 결과를 방향 그래프로 확장하기 위해.
• 이색수 문제의 방향 클리크-너비와 색상 수에 대해 FPT임을 보여주기 위해.
• 방향 코그래프 및 방향 캉터스 숲과 같은 완전한 방향 그래프의 부분류에서 이색수를 효율적으로 계산할 수 있는 클래스를 식별하기 위해.

제안 방법

• 입력 방향 그래프의 방향 클리크-너비 표현에서 유도된 루트가 있는 표현 트리 위에서 하향식 동적 프로그래밍을 사용하기 위해.
• 각 부분트리에서, 순환 없는 색상 클래스 각각에 대해 도달 가능성 쌍의 다중집합을 사용해 레이블 기반의 도달 가능성 정보를 유지하기 위해.
• 각 색상 클래스가 순환 없는 부분방향그래프를 유도하도록 필요한 최소 색상 수를 계산하기 위해.
• 방향 클리크-너비와 색상 수에 대해 FPT 소속임을 보이기 위해 단항 이차논리(MSO) 정의 가능성을 적용하기 위해.
• 기존의 방향 코그래프(클리크-너비 2) 및 방향 캉터스 숲(트리-너비 1)의 구조적 성질을 활용하여 선형 시간 알고리즘 유도하기 위해.
• 순환 없는 색칠 문제를 O(n²)개의 변수를 갖는 정수계획법으로 변환하여, 정점 수에 대해 매개변수화된 경우 FPT 소속을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향 클리크-너비가 일정한 방향 그래프에 대해 이색수 문제는 다항식 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 이색수 문제의 방향 클리크-너비와 색상 수에 대해 매개변수화되었을 때 FPT인가?
• RQ3 방향 코그래프 및 그 일반화된 클래스는 선형 시간 알고리즘을 갖는가?
• RQ4 이색수 문제의 방향 클리크-너비에 대해 매개변수화되었을 때 XP 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ5 기저 무방향 그래프의 클리크-너비에 대해 매개변수화되었을 때 이색수 문제의 FPT 성질은 성립하는가?

주요 결과

• 이 논문은 방향 클리크-너비가 일정한 방향 그래프에서 이색수 문제에 대해 최초의 다항식 시간 알고리즘을 제시하며, 이 알고리즘의 실행 시간은 k가 방향 클리크-너비일 때 n^{2^{O(k²)}}이다.
• MSO 정의 가능성을 사용하여, 방향 클리크-너비와 색상 수에 대해 매개변수화되었을 때 이색수 문제의 FPT 소속이 입증된다.
• 방향 클리크-너비가 2인 방향 코그래프 및 그 일반화된 클래스에서는 이색수를 선형 시간에 계산할 수 있다.
• 방향 트리-너비가 1인 방향 캉터스 숲은 이색수 최대 2를 가지며, 최적의 순환 없는 색칠을 선형 시간에 계산할 수 있다.
• P = NP가 아닐 경우, 기저 무방향 그래프의 클리크-너비에 대해 매개변수화되었을 때 문제는 FPT에 속하지 않는다.
• 색상 수 r에 대해 매개변수화되었을 때 문제는 XP에 속하지 않으며, DCN₂가 NP-완전이기 때문이다.