[논문 리뷰] Adaptive Optimal PMU Placement Based on Empirical Observability Gramian

Junjian Qi, Kai Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 25.

Power System Optimization and Stability참고 문헌 38인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 PMU 수에 따라 경험적 관측 가능성 그라미안의 행렬식, 트레이스, 최소 고유값, 조건수 중 하나를 적응적으로 선택하는 적응형 최적 PMU 배치 방법을 제안한다. 낮은 PMU 수(예: <10)일 경우, 최소 고유값과 조건수가 행렬식보다 더 우수한 관측 가능성과 추정 성능을 보이며, 이는 NPCC 48기계 시스템에서 제곱근 비선형 칼만 필터를 사용하여 검증되었으며, 추정 오차가 크게 감소하고 수렴 속도가 높아졌다.

ABSTRACT

In this paper, we compare four measures of the empirical observability gramian, including the determinant, the trace, the minimum eigenvalue, and the condition number, which can be used to quantify the observability of system states and to obtain the optimal PMU placement for power system dynamic state estimation. An adaptive optimal PMU placement method is proposed by automatically choosing proper measures as the objective function. It is shown that when the number of PMUs is small and thus the observability is very weak, the minimum eigenvalue and the condition number are better measures of the observability and are preferred to be chosen as the objective function. The effectiveness of the proposed method is validated by performing dynamic state estimation on an Northeast Power Coordinating Council (NPCC) 48-machine 140-bus system with the square-root unscented Kalman filter.

연구 동기 및 목표

• 동적 상태 추정(DSE)에서 최적 PMU 배치를 위한 체계적이고 정량적인 관측 가능성 지표의 부족을 해결하기 위해.
• 행렬식, 트레이스, 최소 고유값(σ_min), 조건수(κ)를 포함한 경험적 관측 가능성 그라미안의 여러 측정치가 시스템 관측 가능성 정량화에 얼마나 효과적인지 비교하기 위해.
• PMU 수에 따라 가장 적합한 그라미안 측정치를 자동으로 선택하는 적응형 OPP 방법을 개발하여 관측 가능성과 추정 정확도를 극대화하기 위해.
• 대규모 전력 시스템(NPCC 48기계, 140bus)에서 제곱근 비선형 칼만 필터를 사용한 동적 상태 추정을 통해 제안된 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 시스템의 상태 전이 함수와 출력 함수로부터 일반적인 운전 조건 하에서 경험적 관측 가능성 그라미안을 계산하여, 주어진 PMU 구성에 따른 상태 관측 가능성 정도를 캡처한다.
• 최적 PMU 배치(OPP)를 위한 잠재적 목적 함수로 행렬식, 트레이스, 최소 고유값(σ_min), 조건수(κ)의 네 가지 측정치를 평가한다.
• 적응적 선택 규칙을 설계: PMU 수 ≥10인 경우 행렬식을 사용하고, 낮은 수의 경우 최소 고유값(σ_min)보다 조건수(−κ)를 우선 선택함으로써 성능 향상이 뛰어나다.
• 행렬 미분을 사용하지 않는 최적화(NOMAD 및 OPTI 도구상자)를 통해 OPP 문제를 해결하고, 5초 간격의 궤적과 3상 고장 조건에서 동적 상태 추정을 제곱근 비선형 칼만 필터를 통해 수행한다.
• 성능 평가에는 평균 로터 각도 추정 오차와 마지막 1초 내 2% 이내 오차를 가진 수렴 상태 수를 사용한다.
• 적응 전략은 행렬식의 크기(log det ≥ 0)에 따라 목적 함수를 동적으로 전환하여 수치적 안정성과 관측 가능성에 대한 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 PMU 수 조건에서 동적 상태 추정에 있어 경험적 관측 가능성 그라미안의 측정치 중에서 행렬식, 트레이스, 최소 고유값, 조건수 중 어느 것이 시스템 관측 가능성을 가장 신뢰성 있게 정량화하는가?
• RQ2 다양한 그라미안 측정치를 사용할 경우, 특히 추정 오차와 상태 변수의 수렴성 측면에서 최적 PMU 배치의 성능가 어떻게 달라지는가?
• RQ3 PMU 수에 따라 다양한 그라미안 측정치를 전환하는 적응 전략이 단일 고정 측정치를 사용하는 것보다 전체 관측 가능성과 추정 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 제안된 적응형 OPP 방법은 대규모 전력 시스템에서 추정 오차를 얼마나 줄이고, 수렴 상태의 수를 얼마나 증가시키는가?

주요 결과

• 낮은 PMU 수(<10) 조건에서는 최소 고유값과 조건수가 행렬식과 트레이스보다 관측 가능성 정량화에 더 효과적이며, 더 안정적이고 의미 있는 값을 제공한다.
• 트레이스는 고유값이 0인 경우를 감지하지 못해 비관측 상태를 식별하지 못하므로 비효율적이다.
• 관측 가능성 수준이 낮을 경우 행렬식은 매우 작은 값을 만들어내는 경향이 있어, 낮은 PMU 조건에서 신뢰할 수 없는 지표가 된다.
• 낮은 PMU 수 조건에서 조건수(−κ)는 최소 고유값(σ_min)보다 관측 가능성 향상에 뛰어난 성능을 보이며, 이는 적응 목적 함수로 선택하는 데 타당성을 제공한다.
• 적응형 OPP 방법은 무작위 PMU 배치에 비해 평균 로터 각도 추정 오차가 크게 감소하고, 수렴 상태 수가 더 많다.
• 단일 측정치 기반 OPP 전략보다 적응형 방법이 NPCC 48기계, 140bus 시스템에서 동적 상태 추정에 있어 더 뛰어난 강건성과 정확도를 보였다.