[논문 리뷰] Adaptive Sparse Polynomial Chaos Expansions via Leja Interpolation

Dimitrios Loukrezis, Herbert De Gersem|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 19.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 69인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Leja 수열을 이용한 보간 노드로 보간 다항식 혼합 확장(PCEs)을 구성하는 새로운 적응형이고 직접적인 방법을 제안한다. Leja 기반 뉴턴 다항식의 고유한 차수 구조와 수직 다항식으로의 일대일 대응을 활용하여, 각 보간 점마다 하나의 PCE 항을 사용함으로써 정확한 보간을 달성하며, 최소한의 모델 평가로 고정밀도의 대체 모델링과 불확실성 정량화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This work suggests an interpolation-based stochastic collocation method for the non-intrusive and adaptive construction of sparse polynomial chaos expansions (PCEs). Unlike pseudo-spectral projection and regression-based stochastic collocation methods, the proposed approach results in PCEs featuring one polynomial term per collocation point. Moreover, the resulting PCEs are interpolating, i.e., they are exact on the interpolation nodes/collocation points. Once available, an interpolating PCE can be used as an inexpensive surrogate model, or be post-processed for the purposes of uncertainty quantification and sensitivity analysis. The main idea is conceptually simple and relies on the use of Leja sequence points as interpolation nodes. Using Newton-like, hierarchical basis polynomials defined upon Leja sequences, a sparse-grid interpolation can be derived, the basis polynomials of which are unique in terms of their multivariate degrees. A dimension-adaptive scheme can be employed for the construction of an anisotropic interpolation. Due to the degree uniqueness, a one-to-one transform to orthogonal polynomials of the exact same degrees is possible and shall result in an interpolating PCE. However, since each Leja node defines a unique Newton basis polynomial, an implicit one-to-one map between Leja nodes and orthogonal basis polynomials exists as well. Therefore, the in-between steps of hierarchical interpolation and basis transform can be discarded altogether, and the interpolating PCE can be computed directly. For directly computed, adaptive, anisotropic interpolating PCEs, the dimension-adaptive algorithm is modified accordingly. A series of numerical experiments verify the suggested approach in both low and moderately high-dimensional settings, as well as for various input distributions.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 모델 평가로 희소 다항식 혼합 확장(PCEs)을 구성하는 비내재적이고 적응형 방법을 개발하기 위해.
• 전통적인 보간 기반 PCE 방법에서 발생하는 수치적 불안정성과 비효율성을 해결하기 위해 Leja 수열을 보간 노드로 사용함으로써.
• 중간 단계의 계층적 보간 또는 기저 변환 단계 없이 직접 보간 PCE를 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 최소한의 계산 비용으로 고정밀도의 대체 모델링, 불확실성 정량화(UQ), 민감도 분석(SA)을 확보하기 위해.
• 모델 평가당 근사 정확도 측면에서 의사 스펙트럴 프로젝션(PSP) 및 최소제곱 회귀(LSR)에 비해 제안된 방법의 우수성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 1변수 보간 그리드로 Leja 수열을 사용하여 다변수 보간에서 수치적 안정성과 계층적 구조를 확보한다.
• Leja 수열에 정의된 뉴턴 유사 기저 다항식을 이용한 계층적이고 적응형 보간을 구성하며, 각 기저 함수마다 고유한 다변수 차수를 보장한다.
• Leja 노드 인덱스와 수직 다항식 차수 사이의 일대일 대응을 수립하여, 중간 기저 변환 단계 없이 직접 보간 PCE를 계산할 수 있도록 한다.
• 영향력 있는 변수에 집중하기 위해 차원 적응 알고리즘을 적용하여 이방향 보간 PCE를 구성한다.
• Leja 노드에서 수직 다항식으로의 직접적 암시적 사상법을 적용하여 명시적 라그랑주 기저에서 수직 기저로의 변환 과정을 생략한다.
• 결과로 도출된 보간 PCE를 불확실성 정량화 및 민감도 분석을 위한 대체 모델로 사용하며, 모멘트 및 소볼 지수 계산을 위한 후처리를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Leja 수열은 보간 기반 PCE 구성에서 안정적이고 적응형이며 희소적이며, 각 보간 점마다 하나의 PCE 항을 제공할 수 있는가?
• RQ2 Leja 노드를 통한 보간 PCE의 직접 계산이 기저 변환을 포함하는 간접 방법에 비해 정확도와 효율성 측면에서 뛰어나지 않는가?
• RQ3 제안된 적응형 보간 PCE는 모델 평가당 근사 정확도 측면에서 PSP 및 LSR와 같은 기존 방법에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ4 저차원 및 중간 정도의 고차원 문제에서 모멘트 및 민감도 지수 추정의 정확도를 어느 정도 유지하는가?
• RQ5 제안된 방법은 고차원 불확실성 정량화에서 수렴성을 향상시키기 위해 적응형 정밀도 전략과 효과적으로 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 각 보간 점마다 하나의 다항식 항을 도출하여, 보간 노드에서 정확한 보간을 보장하는 보간 PCE를 생성한다.
• Leja 노드를 통한 보간 PCE의 직접 계산은 간접 기저 변환 방법과 비교해 모멘트 및 민감도 지수 추정에서 동일한 정확도를 달성한다.
• 직접 방법을 통해 구성된 적응형 보간 PCE는 적응형 계층적 뉴턴 기반 보간과 유사한 수렴 행동을 보인다.
• 동일한 수의 모델 평가로 보다 높은 근사 정확도를 확보하기 위해 보간 PCE는 의사 스펙트럴 프로젝션(PSP) 및 최소제곱 회귀(LSR) 방법을 모두 능가한다.
• 저차원 및 중간 정도의 고차원 테스트 케이스에서 다양한 입력 분포와 문제 차원에서 높은 정확도를 유지함을 입증하였다.
• LAR 기반 방법을 사용한 고차수 이방향 PCE를 통한 기준 소볼 지수 계산은 신뢰할 수 있는 기준이 되며, 제안된 방법의 정확성을 확인한다.