[논문 리뷰] An adaptive high-order piecewise polynomial based sparse grid collocation method with applications

Zhanjing Tao, Yan Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 09.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고차원 문제를 위한 내재된 보간점 기반의 적응형 고차 다항식 기반 희소 격자 보간법을 제안한다. 이는 국소적이고 전역적이지 않은 스텐실을 가진 임의의 차수의 불연속 다항식 공간을 위한 체계적인 프레임워크를 도입하여, 효율적인 적응형 메esh 조정과 O(d·DoF) 복잡도를 가진 빠른 변환을 가능하게 하며, 함수 보간, 적분, 불확실성 정량화 응용에서 최적 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

This paper constructs adaptive sparse grid collocation method onto arbitrary order piecewise polynomial space. The sparse grid method is a popular technique for high dimensional problems, and the associated collocation method has been well studied in the literature. The contribution of this work is the introduction of a systematic framework for collocation onto high-order piecewise polynomial space that is allowed to be discontinuous. We consider both Lagrange and Hermite interpolation methods on nested collocation points. Our construction includes a wide range of function space, including those used in sparse grid continuous finite element method. Error estimates are provided, and the numerical results in function interpolation, integration and some benchmark problems in uncertainty quantification are used to compare different collocation schemes.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차수의 불연속 다항식 공간에 대한 고차 다항식 기반 희소 격자 보간법을 위한 체계적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 국소적 구조나 낮은 미분 가능성의 해를 가진 문제에서, 계층적 초과를 측정하여 고차원 문제에서의 적응형 메쉬 조정을 가능하게 하기 위해.
• 고차 보간을 위한 국소적이고 전역적이지 않은 스텐실을 구성하여 밀도를 유지하고 전역적 의존성을 피하기 위해.
• 다중해상도 분석(MRA)과의 호환성과 계산 효율성을 확보하기 위해 내재된 보간점을 확보하기 위해.
• 이론적 오차 추정치와 함께 불확실성 정량화, 함수 보간, 적분 문제의 벤치마크 문제에서 방법의 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 일차원에서 내재된 보간점을 구성하고, 이를 보간 기반 다중해상도 분석(MRA)을 통해 관련 다중웨이브릿 기반을 유도한다.
• 스몰리악의 구성법을 적용하여 일차원 프레임워크를 고차원으로 확장하여 격자 구조의 희소성을 달성한다.
• 내재된 격자 위에서 국소적 고차 라그랑주 및 에르미트 보간을 적용하여, 더 높은 정확도를 달성하면서도 현재 셀을 초월한 스텐실을 확장하지 않도록 보장한다.
• 계층적 초과 기반의 적응형 메쉬 조정 전략을 구현하여 국소 오차 지표에 기반해 메쉬 해상도를 동적으로 조정한다.
• 점 값과 전개 계수 간의 빠른 변환 기법을 도입하여 연산 횟수가 O(d·DoF) 비율로 증가하도록 하여 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 연속적이고 불연속적인 다항식 공간 모두를 지원하며, 희소 격자 유한요소법에서 사용되는 것들과 같은 공간도 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 스텐실을 가진 임의의 차수의 다항식 공간에 대해 체계적이고 적응형 희소 격자 보간법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법은 고차원 함수 근사, 적분, 불확실성 정량화에서 최적 수렴 속도를 어떻게 달성하는가?
• RQ3 내재된, 전역적이지 않은 스텐실의 사용이 고차 보간 방법의 안정성과 정확성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 계층적 초과 기반의 적응형 메쉬 조정은 국소적 특징이나 낮은 정규성의 문제에서 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 제안된 프레임워크에서 점 값과 계수 간의 빠른 변환의 계산 복잡도는 얼마인가?

주요 결과

• 함수들이 W^{q+1,M,p} 소볼레프 공간에 속할 경우, L^p 및 H^1 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하며 오차 한계는 O(2^{-(N-d+2)(q+1)}) 비율로 척도화된다.
• H^1 노름의 오차 추정치는 d^{3/2} · C^d · (2+2^{q+2})^d · 2^{d-1} · (1+2^{-(q+1)})^d · 2^{-q(N-d+1)} · |f|_{W^{q+1,M,2}(Ω)}로 유계된다.
• 점 값과 계수 간의 빠른 변환은 O(d·DoF) 연산으로 수행되어 난이도 높은 구현 방식에 비해 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 내재된 격자 위에서 라그랑주 및 에르미트 보간을 모두 지원하여 고차 정확도를 달성하면서도 밀도 있고 국소적인 스텐실을 유지한다.
• 수치 결과는 기존의 표준 보간 방법에 비해 함수 보간, 적분, 벤치마크 불확실성 정량화 문제에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 이 프레임워크는 희소 격자 FEM에서 사용되는 연속적인 유한요소 공간을 자연스럽게 포함하며, 더 큰 유연성을 확보하기 위해 불연속 다항식 근사도 허용한다.