[논문 리뷰] Additively irreducible sequences in commutative semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 26.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가환 반군에서의 덧셈으로 더 이상 분해할 수 없는 수열을 정의하고 분석하며, 주어진 원소 $a$로 합이 되는 이러한 수열의 최대 길이인 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$를 정의한다. $a$에서 시작하는 주 이상수의 오름 사슬 조건이 성립할 경우 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$가 유한해지는 데 필요한 필요조건과 충분조건을 제시하고, 날카운 경계를 도출하며, 특히 주 이상수를 갖는 유한 가환 단위 원소를 포함한 유한 가환 반군에 결과를 적용한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a commutative semigroup, and let $T$ be a sequence of terms from the semigroup $\mathcal{S}$. We call $T$ an (additively) {\sl irreducible} sequence provided that no sum of its some terms vanishes. Given any element $a$ of $\mathcal{S}$, let ${ m D}_a(\mathcal{S})$ be the largest length of the irreducible sequence such that the sum of all terms from the sequence is equal to $a$. In case that any ascending chain of principal ideals starting from the ideal $(a)$ terminates in $\mathcal{S}$, we found the sufficient and necessary conditions of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ being finite, and in particular, we gave sharp lower and upper bounds of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ in case ${ m D}_a(\mathcal{S})$ is finite. We also applied the result to commutative unitary rings. As a special case, the value of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ was determined when $\mathcal{S}$ is the multiplicative semigroup of any finite commutative principal ideal unitary ring.

연구 동기 및 목표

• 주어진 원소 $a$에 대해, 부분 수열의 합이 전체 수열의 합과 일치하지 않는 덧셈으로 더 이상 분해할 수 없는 수열을 정의하고 특성화한다.
• $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 유한성, 즉 고정된 원소 $a$로 합이 되는 불가약 수열의 최대 길이를 조사한다.
• 원소 $a$에서 시작하는 주 이상수의 오름 사슬 조건이 성립할 경우 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$가 유한해지기 위한 필요 및 충분 조건을 설정한다.
• 유한한 경우 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 날카운 상한과 하한 경계를 도출한다.
• 결과를 유한 가환 단위 원소를 갖는 반군, 특히 주 이상수를 갖는 반군의 곱셈 반군에 적용한다.

제안 방법

• 가환 반군 $\mathcal{S}$에서 $\sigma(T) = a$를 만족하는 불가약 수열 $T$의 최대 길이로 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$를 정의한다.
• $a$ 주변의 반군의 구조와 관련된 군 $\Gamma(H_a)$를 도입하고, Schützenberger 군 구성법을 활용하여 불가약성의 성질을 분석한다.
• $a$와 관련된 이상수 $\mathfrak{a}$의 최소 생성수인 $\Psi(a)$의 개념을 활용하여 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 경계를 설정한다.
• $\Gamma(H_a)$ 내의 0합 자유 수열과 $a$의 최소 생성 수열을 조합하여 명시적인 불가약 수열을 구성함으로써, 부분 수열의 합이 $\sigma(T)$가 되지 않도록 보장한다.
• 노에터 반군의 구조 이론과 주 이상수를 갖는 원소의 이론을 활용하여 유한성과 경계를 도출한다.
• 유한 아벨 군에서의 Davenport 상수 $\mathrm{D}(G)$와 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 이중성을 이용하여 결과를 원소로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 원소 $a$에 대해, 가환 반군 $\mathcal{S}$에서 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$가 유한해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유한한 경우 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 날카운 상한과 하한 경계는 무엇인가?
• RQ3 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 유한성은 반군의 구조, 특히 Schützenberger 군 $H_a$의 유한성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 유한 가환 주 이상수 단위 원소를 갖는 반군의 곱셈 반군에서 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$의 값은 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$와 유한 아벨 군에서의 Davenport 상수 $\mathrm{D}(G)$ 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 주 이상수의 오름 사슬이 $a$에서 종료된다는 가정 하에, $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$는 유한한데 그 조건이 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$가 유한해지는 것과 동치이며, 이는 Schützenberger 군 $H_a$가 유한할 때에만 성립한다.
• 유한한 경우, $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$는 다음 날카운 경계를 만족한다: $\mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a) \leq \mathrm{D}_a(\mathcal{S}) \leq \mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a)$, 여기서 $\mathrm{D}^*(G)$는 군 $G$의 Davenport 상수이다.
• 유한 가환 주 이상수 단위 원소를 갖는 반군 $R$의 곱셈 반군 $\mathcal{S}_R$에 대해, $\mathrm{D}_a(\mathcal{S}_R)$의 값은 완전히 결정되며, $\mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a)$와 같다.
• 반드시 $\Psi(a)$가 유한할 필요는 없으며, $\Psi(a)$가 무한이지만 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S}) \leq n$인 반례를 통해 이는 입증된다.
• 모든 가환 반군 $\mathcal{S}$에서 $\mathrm{D}(\mathcal{S})$는 유한한데 그 조건이 $\mathrm{d}(\mathcal{S})$가 유한할 때이며, 이 경우 $\mathrm{D}(\mathcal{S}) = \mathrm{d}(\mathcal{S}) + 1$이다.
• 가환 노에터 반군 $\mathcal{S}$에 대해, $\mathrm{D}(\mathcal{S})$는 유한한데 그 조건이 모든 $a \in \mathcal{S}$에 대해 $H_a$의 크기가 균일하게 유계일 때이다.