[논문 리뷰] ADE Double Scaled Little String Theories, Mock Modular Forms and Umbral Moonshine

Jeffrey A. Harvey, Sameer Murthy외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 40인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Coxeter 수 k를 가진 ADE 루트 격자를 가진 K3 위의 이중 스케일링된 리틀 스트링 이론을 연구하며, 제2 헬리시티 슈퍼트레이스로 세어지는 BPS 기본 스트링 상태들이 무게 2의 혼합 모듈라 형식을 이룬다는 것을 보여준다. 경로 적분 및 해밀토니안 방법을 사용하여, 경로 적분이 해밀토니안의 해석적이지만 비모듈라인 결과의 모듈라 보완을 제공하며, ADE 루트로 구성된 니메이어 격자를 갖는 우먼블 문스킨 형식과 정확히 일치함을 발견한다. 다만 상수 인자에 따라 다를 수 있다.

ABSTRACT

We consider double scaled little string theory on $K3$. These theories are labelled by a positive integer $k \ge 2$ and an $ADE$ root lattice with Coxeter number $k$. We count BPS fundamental string states in the holographic dual of this theory using the superconformal field theory $K3 imes \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} imes \frac{SU(2)_k}{U(1)} ight) \big/ \mathbb{Z}_k$. We show that the BPS fundamental string states that are counted by the second helicity supertrace of this theory give rise to weight two mixed mock modular forms. We compute the helicity supertraces using two separate techniques: a path integral analysis that leads to a modular invariant but non-holomorphic answer, and a Hamiltonian analysis of the contribution from discrete states which leads to a holomorphic but not modular invariant answer. From a mathematical point of view the Hamiltonian analysis leads to a mixed mock modular form while the path integral gives the completion of this mixed mock modular form. We also compare these weight two mixed mock modular forms to those that appear in instances of Umbral Moonshine labelled by Niemeier root lattices $X$ that are powers of $ADE$ root lattices and find that they are equal up to a constant factor that we determine. In the course of the analysis we encounter an interesting generalization of Appell-Lerch sums and generalizations of the Riemann relations of Jacobi theta functions that they obey.

연구 동기 및 목표

• 이중 스케일링 리틀 스트링 이론이 ADE 루트 격자를 가진 K3에서 BPS 상태의 스펙트럼을 이해하기 위해.
• 이론의 헤일로그래픽 CFT 이중체를 두 가지 상보적인 방법인 경로 적분 및 해밀토니안 분석을 사용하여 제2 헬리시티 슈퍼트레이스를 분석하기 위해.
• 유도된 분할 함수의 모듈라 성질을 규명하고, 이들을 모듈라 형식과 연결하기 위해.
• 헤일로그래픽 CFT에서 유도된 무게 2의 혼합 모듈라 형식이 ADE 루트 시스템으로 구성된 니메이어 격자를 갖는 우먼블 문스킨에서 유도된 형식과 비교하기 위해.
• 일반화된 Appell-Lerch 합과 테타 함수에 대한 리만 유형의 관계를 포함한 새로운 수학적 구조를 밝혀내기 위해.

제안 방법

• 헤일로그래픽 이중체는 $ K3 \times \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} \times \frac{SU(2)_k}{U(1)} \right) / \mathbb{Z}_k $ 로 구성되며, 이는 K3 위의 이중 스케일링 리틀 스트링 이론을 모델링한다.
• 제2 헬리시티 슈퍼트레이스는 경로 적분 방법을 통해 계산되며, 모듈라 불변이지만 비해석적 함수를 얻는다.
• 해밀토니안 분석은 이산 상태 기여를 분리하여 해석적이지만 비모듈라인 결과를 생성한다.
• 경로 적분과 해밀토니안 결과를 일치시키기 위해, 경로 적분이 해밀토니안 결과의 해석적 형식에 대한 모듈라 보완을 제공한다는 것을 보였다.
• 계산에서 테타 함수 항등식을 다루기 위해 일반화된 리만-테타 관계와 일반화된 Appell-Lerch 합을 유도하고 사용하였다.
• 유도된 무게 2의 혼합 모듈라 형식은 ADE 루트 격자의 거듭제곱으로 구성된 니메이어 격자 $ X $ 에서의 우먼블 문스킨 형식과 비교되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Coxeter 수 $ k $ 를 가진 ADE 루트 격자를 가진 K3 위의 이중 스케일링 리틀 스트링 이론에서 BPS 기본 스트링 상태들이 어떻게 모듈라 형식으로 조직되는가?
• RQ2 경로 적분 및 해밀토니안 방법을 통해 계산된 제2 헬리시티 슈퍼트레이스의 모듈라 행동은 무엇이며, 이 두 방법은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 헤일로그래픽 CFT에서 유도된 무게 2의 혼합 모듈라 형식이 ADE 루트로 구성된 니메이어 격자를 갖는 우먼블 문스킨에서 유도된 형식과 일치하는가?
• RQ4 계산 과정에서 어떤 새로운 수학적 구조, 예를 들어 일반화된 Appell-Lerch 합과 리만 유형의 테타 함수 항등식이 나타나는가?
• RQ5 리틀 스트링 이론에서 유도된 모듈라 형식과 우먼블 문스킨에서의 형식 사이의 정확한 상수 인자는 무엇인가?

주요 결과

• Coxeter 수 $ k $ 를 가진 ADE 루트 격자를 가진 K3 위의 이중 스케일링 리틀 스트링 이론의 제2 헬리시티 슈퍼트레이스는 무게 2의 혼합 모듈라 형식을 유도한다.
• 해밀토니안 분석은 해석적이지만 비모듈라인 함수를 얻으며, 이는 혼합 모듈라 형식으로 식별된다.
• 경로 적분 분석은 모듈라 불변이지만 비해석적 함수를 생성하며, 이는 해밀토니안 결과의 모듈라 보완이다.
• 리틀 스트링 이론에서 유도된 혼합 모듈라 형식은 ADE 루트 격자의 거듭제곱으로 구성된 니메이어 격자 $ X $ 에서의 우먼블 문스킨 형식과 상수 인자에 따라 정확히 일치한다. 이 상수 인자는 명시적으로 계산되었다.
• 분석 과정에서 Appell-Lerch 합의 일반화와 이러한 일반화된 테타 함수가 따르는 새로운 리만 유형의 관계가 드러났다.
• 전체 분할 함수는 $ \widetilde{R5} $ 부터 $ \widetilde{R16} $ 까지의 일반화된 리만-테타 관계를 만족하며, 이는 계산의 일관성에 필수적이다.