[논문 리뷰] Adjunctions in Quantaloid-enriched Categories

Lili Shen|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 01.

Rough Sets and Fuzzy Logic참고 문헌 64인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 양자모드 Q를 초월한 범주에서의 고리관계를 통합된 프레임워크로 개발하며, 분포기구를 통한 Q-범주 간의 이스벨 및 칸 고리관계를 도입한다. 이론적 성질은 정보형 변환을 통해 증명되며, 자유 코완성 함자에 대한 새로운 분해와 형식적 개념 분석 및 거친 집합 이론을 흐린 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

This dissertation is devoted to a study of adjunctions concerning categories enriched over a quantaloid Q (or Q-categories for short), with the following types of adjunctions involved: (1) adjoint functors between Q-categories; (2) adjoint distributors between Q-categories; (3) adjoint functors between categories consisting of Q-categories. For a small quantaloid Q and a distributor between Q-categories, two adjunctions between the Q-categories of contravariant and covariant presheaves are presented. These adjunctions respectively extend the fundamental construction of Isbell adjunctions and Kan extensions in category theory, so, they will be called the Isbell adjunction and Kan adjunction, respectively. The functoriality of these constructions is the central topic of this dissertation. In order to achieve this, infomorphisms between distributors are introduced to organize distributors (as objects) into a category. Then we proceed as follows: first, the Isbell adjunction and Kan adjunction associated with each distributor between Q-categories give rise to two monads, which are respectively (covariant) functorial and contravariant functorial from the category of distributors and infomorphisms to the category of Q-closure spaces; second, it is shown that the assignments of a distributor to the fixed points of the two monads are respectively (covariant) functorial and contravariant functorial from the category of distributors and infomorphisms to that of skeletal complete Q-categories and left adjoint functors. As consequences of the functoriality of the above processes, three factorizations of the free cocompletion functor of Q-categories are presented. Finally, as applications, the theory of formal concept analysis and that of rough sets are extended to theories based on fuzzy relations between fuzzy sets.

연구 동기 및 목표

• 양자모드 Q를 초월한 범주로 이스벨 및 칸 고리관계를 일반화한다.
• 분포기구 간의 정보형 변환을 이용하여 이러한 고리관계의 함자적 성질을 확립한다.
• 고리관계에서 유도된 모나드의 고정점이 스켈레탈 완전 Q-범주로 특징지어짐을 규명한다.
• 형식적 개념 분석과 거친 집합 이론을 흐린 집합 간의 관계로 확장한다.
• Q-범주에서의 자유 코완성 함자에 대한 새로운 분해를 제공한다.

제안 방법

• Q-분포기구 간의 정보형 변환을 도입하여 분포기구의 범주를 구성한다.
• 각 분포기구 φ: A −◦−/ B에 대해 이스벨 고리관계 φ↓ ⊣ φ↑ 및 칸 고리관계 φ∗ ⊣ φ∗를 정의한다.
• PA 및 PB에서의 모나드 φ↓◦φ↑ 및 φ∗◦φ∗를 구성한다. 여기서 PA, PB는 프레시브의 Q-범주이다.
• Q-폐쇄 공간을 프레시브 범주 위에 모나드가 있는 Q-범주로 도입한다.
• φ ↦ (A, φ↓◦φ↑) 및 φ ↦ (B, φ∗◦φ∗)의 할당이 Q-폐쇄 공간의 범주로 공변 및 반공변 함자임을 증명한다.
• 이러한 모나드의 고정점이 스켈레탈 완전 Q-범주를 형성하며, 이러한 할당이 함자적임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이스벨 및 칸 고리관계는 양자모드를 초월한 Q-범주로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 분포기구 간의 정보형 변환에 따라 이스벨 및 칸 고리관계의 함자적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 모나드 φ↓◦φ↑ 및 φ∗◦φ∗의 고정점은 Q-범주에서의 완전성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Q-범주의 자유 코완성 함자를 이러한 고리관계를 통해 어떻게 분해할 수 있는가?
• RQ5 형식적 개념 분석과 거친 집합 이론은 어떻게 흐린 집합 간의 관계로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• φ ↦ (A, φ↓◦φ↑)의 대응은 Q-분포기구와 정보형 변환의 범주에서 Q-폐쇄 공간의 범주로의 공변 함자이다.
• φ ↦ (B, φ∗◦φ∗)의 대응은 Q-폐쇄 공간의 범주로의 반공변 함자이다.
• PA에서 모나드 φ↓◦φ↑의 고정 객체들은 완전한 Q-범주를 형성하며, 이 할당은 공변 함자적 성질을 가진다.
• PB에서 φ∗◦φ∗의 고정 객체들 역시 완전한 Q-범주를 형성하며, 반공변 함자적 할당이 적용된다.
• 이러한 함자적 성질로부터 Q-범주의 자유 코완성 함자에 대한 세 가지 새로운 분해가 도출된다.
• 형식적 개념 분석과 거친 집합 이론은 Q-범주와 Q-분포기구를 사용하여 흐린 설정으로 일반화된다.