[논문 리뷰] Affine geometric spaces in tangent categories

Richard Blute, G. S. H. Cruttwell외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 탄성 범주 내에서 평행 이동이 없는 연결을 통해 아핀 기하 공간을 특성화하여, 그들의 범주가 기저 범주로부터 유도된 탄성 범주 구조를 상속함을 보여준다. 아핀 탄성 범주를 Eilenberg-Moore 코알제브라로 하는 2-코모나드를 탄성 범주 2-범주 위에 수립하고, 반복된 탄성 다발 간의 사상으로서 평행 이동이 없는 연결의 새로운 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We continue the program of structural differential geometry that begins with the notion of a tangent category, an axiomatization of structural aspects of the tangent functor on the category of smooth manifolds. In classical geometry, having an affine structure on a manifold is equivalent to having a flat torsion-free connection on its tangent bundle. This equivalence allows us to define a category of affine objects associated to a tangent category and we show that the resulting category is also a tangent category, as are several related categories. As a consequence of some of these ideas we also give two new characterizations of flat torsion-free connections. We also consider 2-categorical structure associated to the category of tangent categories and demonstrate that assignment of the tangent category of affine objects to a tangent category induces a 2-comonad. Finally, following work of Jubin, we consider monads and comonads on the category of affine objects associated to a tangent category. We show that there is a rich theory of monads and comonads in this setting as well as various distributive laws and mixed distributive laws relating these monads and comonads. Even in the category of smooth manifolds, several of these results are new or fill in gaps in the existing literature.

연구 동기 및 목표

• 탄성 범주 맥락에서 아핀 기하 공간을 정의하고 연구함으로써 고전적 아핀 다각형을 일반화한다.
• 기저 범주로부터 유도된 탄성 범주 구조를 상속하는 아핀 기하 공간의 범주가 탄성 범주임을 보인다.
• 반복된 탄성 다발 간의 사상으로서 평행 이동이 없는 연결의 새로운 범주론적 특성화를 제공한다.
• 탄성 범주에 대한 2-범주적 프레임워크를 개발하여, 아핀 기하 공간의 할당이 2-코모나드를 형성함을 규명한다.
• 스무스 다각형에서의 고차 구조, 예를 들어 이중모나드를 탄성 범주로 일반화하는 데 기초를 마련한다.

제안 방법

• Auslander-Markus 정리에 따라 아핀 다각형과 평행 이동이 없는 연결을 갖는 다각형 간의 동치를 이용하여, 탄성 범주 내에서 아핀 기하 공간을 정의한다.
• 기하 공간을 그 탄성 다발 위의 연결을 갖춘 대상으로 정의하고, 평행 이동이 없고 비틀림이 없는 연결을 갖는 대상을 아핀 기하 공간으로 정의한다.
• 기하 공간의 전체 부분범주로 아핀 기하 공간의 범주를 구성하고, 기저 범주로부터의 내림을 통해 탄성 구조가 상속됨을 보인다.
• 어떤 탄성 범주에 대해서도 아핀 기하 공간의 할당이 탄성 범주의 2-범주 위에 2-코모나드를 형성함을 증명한다.
• 탄성 범주 간의 사상에 관한 기술적 보조정리를 활용하여, 함자와 자연변환 하에서의 구조 일치성을 확보한다.
• 도표적 추론과 함자적 내림을 사용하여, T(TM)과 TM에 유도된 구조가 연결의 새로운 특성화에 요구되는 공리를 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 탄성 범주 프레임워크 내에서 아핀 다각형을 공리화할 수 있는가?
• RQ2 기하 공간의 범주(연결을 갖춘 대상들로 구성)가 탄성 범주 구조를 상속받는 조건은 무엇인가?
• RQ3 평행 이동이 없는 연결은 반복된 탄성 다발 간의 사상으로서 범주론적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 각 탄성 범주에 아핀 기하 공간의 범주를 할당할 때 나타나는 2-범주적 구조는 무엇인가?
• RQ5 스무스 다각형의 범주에서 탄성 함자에 대한 모나드 및 코모나드 구조는 어떻게 탄성 범주로 일반화되는가?

주요 결과

• 기저 범주에서의 내재된 섬유곱을 갖는 탄성 범주 내 아핀 기하 공간의 범주는 기저 범주로부터 유도된 탄성 범주 구조를 갖는다.
• 대상 M 위의 평행 이동이 없는 연결 K는, K에 의해 유도된 표준 기하 구조와 가환하는 사상 K: T(TM) → TM로 동치적으로 특성화될 수 있다.
• 어떤 탄성 범주에 대해서도 아핀 기하 공간의 탄성 범주를 할당하는 것은 탄성 범주의 2-범주 위에 2-코모나드를 형성한다.
• 아핀 탄성 범주는 이 2-코모나드에 대한 Eilenberg-Moore 코알제브라로 식별되며, 평행 이동이 없고 비틀림이 없는 연결을 갖는 구조의 범주론적 특성화를 제공한다.
• 기초 탄성 범주 구조와의 일관성을 보장하기 위해, 잊어버림 함자의 엄격성과 충실성을 유지한다.
• 결과는 Jubin의 아핀 다각형 위에서 탄성 함자에 대한 모나드 및 코모나드 구조에 대한 발견을 일반화하며, 이러한 구조를 위한 더 넓은 추상적 프레임워크를 시사한다.